|
Помогите вычислить интеграл с точностью 0.001, используя разложения элементарных функций в стпенные ряды. $$\int_{0}^{0.4} e^{-\frac{3x^{2}}{4}} dx $$ Знаю что точность определяется последним отброшенным слагаемым, но само вычисление мне, пока что, не под силу. задан 20 Май '13 18:38 
SevenDays |
|
Воспользуйтесь представлением $%e^u$% рядом Маклорена, $%e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+....$% Для $%u=-\frac{3x^2}{4}$% имеем: $$e^{-\frac{3x^2}{4}}=1-\frac{3x^2}{4}+\frac{9x^4}{16\cdot2!}-\frac{27x^6}{64\cdot3!}+....$$ Тогда $$\int_0^{0,4}e^{-\frac{3x^2}{4}}dx=\int_0^{0,4}(1-\frac{3x^2}{4}+\frac{9x^4}{16\cdot2!}-\frac{27x^6}{64\cdot3!}+....)dx\approx$$(трех слагаемых достаточно) $$\approx\Big(x-\frac{x^3}{4}+\frac{9x^5}{160}\Big)\Bigg\vert_0^{0,4}=0,4-\frac{{0,4}^3}{4}+\frac{9\cdot{0,4}^5}{160}=...$$ отвечен 20 Май '13 19:06 
Anatoliy Благодарю!
(20 Май '13 19:14)
SevenDays
|
|
Небольшое замечание к ответу @Anatoliy: в принципе, здесь при вычислении интеграла достаточно двух членов вместо трёх. Отбрасываемая часть представляет собой знакочередующийся ряд, модуль которого монотонно убывает. Это значит, что значение функции, даваемое таким рядом, оценивается первым членом. Иными словами, разность функций $%e^{-3x^2/4}$% и $%1-3x^2/4$% положительна и меньше $%9x^4/32$%. Интегрируя от $%0$% до $%d=0,4$%, получаем $%9d^5/160=9/15625 < 10^{-3}$%. По сути дела, это не очень принципиально, так как величины приходится оценивать те же самые. Тем не менее, сам приближённый ответ с двумя членами вместо трёх выглядит чуть более просто. отвечен 20 Май '13 21:11 
falcao |