Помогите вычислить интеграл с точностью 0.001, используя разложения элементарных функций в стпенные ряды. $$\int_{0}^{0.4} e^{-\frac{3x^{2}}{4}} dx $$ Знаю что точность определяется последним отброшенным слагаемым, но само вычисление мне, пока что, не под силу.

задан 20 Май '13 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Воспользуйтесь представлением $%e^u$% рядом Маклорена, $%e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+....$% Для $%u=-\frac{3x^2}{4}$% имеем: $$e^{-\frac{3x^2}{4}}=1-\frac{3x^2}{4}+\frac{9x^4}{16\cdot2!}-\frac{27x^6}{64\cdot3!}+....$$ Тогда $$\int_0^{0,4}e^{-\frac{3x^2}{4}}dx=\int_0^{0,4}(1-\frac{3x^2}{4}+\frac{9x^4}{16\cdot2!}-\frac{27x^6}{64\cdot3!}+....)dx\approx$$(трех слагаемых достаточно) $$\approx\Big(x-\frac{x^3}{4}+\frac{9x^5}{160}\Big)\Bigg\vert_0^{0,4}=0,4-\frac{{0,4}^3}{4}+\frac{9\cdot{0,4}^5}{160}=...$$

ссылка

отвечен 20 Май '13 19:06

Благодарю!

(20 Май '13 19:14) SevenDays
10|600 символов нужно символов осталось
1

Небольшое замечание к ответу @Anatoliy: в принципе, здесь при вычислении интеграла достаточно двух членов вместо трёх. Отбрасываемая часть представляет собой знакочередующийся ряд, модуль которого монотонно убывает. Это значит, что значение функции, даваемое таким рядом, оценивается первым членом. Иными словами, разность функций $%e^{-3x^2/4}$% и $%1-3x^2/4$% положительна и меньше $%9x^4/32$%. Интегрируя от $%0$% до $%d=0,4$%, получаем $%9d^5/160=9/15625 < 10^{-3}$%.

По сути дела, это не очень принципиально, так как величины приходится оценивать те же самые. Тем не менее, сам приближённый ответ с двумя членами вместо трёх выглядит чуть более просто.

ссылка

отвечен 20 Май '13 21:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×831
×497
×40

задан
20 Май '13 18:38

показан
2267 раз

обновлен
20 Май '13 21:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru