|
Есть дифф. ур.(риккати) $$ x e^{x}+2y^{2}, y(0)=0$$ Решив его, я получил функцию $$y=e^{x}(x-1)+\frac{2}{3}y^{3} - 1$$ А дальше не знаю как действовать, с помощью Фурье чтоли? задан 20 Май '13 20:43 
SevenDays |
|
Поскольку уравнение Риккати в данном случае не решается в квадратурах, здесь, судя по всему, имеется в виду нахождение приближённого решения при помощи разложения в ряды. Можно поступить так: положим $$y(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+\cdots$$ (здесь учтено, что $%y(0)=0$%), и подставим эту функцию в уравнение. При этом получится следующее: $$y'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4+\cdots,$$ где коэффициенты нужно приравнять к тем, которые получаются при разложении в ряд правой части. Разложение для $%xe^x$% мы знаем, и оно равно $$xe^x=x+x^2+\frac12x^3+\frac16x^4+\cdots;$$ возведение функции $%y(x)$% в квадрат даёт $$y(x)^2=a_1^2x^2+2a_1a_2x^3+(2a_1a_3+a_2^2)x^4+\cdots.$$ Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях у соответствующих рядов для уравнения $$y'(x)=2y(x)^2+xe^x,$$ в результате чего все числа $%a_1$%, ..., $%a_5$% быстро находятся. отвечен 20 Май '13 22:39 
falcao |
У Вас здесь нет самого дифференциального уравнения, а есть только его левая часть. Судя по всему, в условии должно быть $%y'=xe^x+2y^2$%. То выражение, которое у Вас написано, не есть решение уравнения: это всего лишь результат формального интегрирования.
Да, вы правы, у вас y' верно написана. Но я немного просто не понимаю что от меня хотят, есть ли может быть какая-то формула для нахождения этих самых 5ти членов?