Найти предел $$\frac{(n^2-1)\ldots(n^2-n)}{n^{2n}}$$ при $%n$% стремящемся к бесконечности.

задан 12 Май '19 11:17

изменен 12 Май '19 12:34

falcao's gravatar image


287k93853

@Имяяя: условия задач удалять нельзя -- тем более, уже решённых. Я всё вернул на место и прошу так больше не делать.

(12 Май '19 12:24) falcao

@falcao, извиняюсь, корректнутл хотел в божеский вид через тех, но так случайно получилось, не заметил

(12 Май '19 12:31) Имяяя
10|600 символов нужно символов осталось
2

Очевидно, выражение приводится к виду $% \prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac{k}{n^2}\right)$%. Тогда $%\ln\prod\limits_{k=1}^n \left(1-\frac{k}{n^2}\right)=\sum\limits_{k=1}^n\ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)$%. Далее, ввиду монотонности $%\ln\left(1-\frac{k+1}{n^2}\right)\leq\displaystyle\int\limits_k^{k+1}\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)dx\leq\ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)$%, откуда $$\int\limits_k^{k+1}\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)dx\leq\ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)\leq\int\limits_{k-1}^{k}\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)dx.$$ Суммируем по $%k$% от 1 до $%n$%:$$\int\limits_1^{n+1}\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)dx\leq\sum\limits_{k=1}^n\ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)\leq\int\limits_{0}^{n}\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)dx.$$ Первообразная равна $%(x-n^2)\ln\left(1-\frac{x}{n^2}\right)-x$%. Далее -- дело техники, выполнить подстановки и перейти к пределу. В пределе с обеих сторон получается $%-\frac{1}{2}$%, следовательно, исходное произведение стремится к $%\frac{1}{\sqrt e}$%.

ссылка

отвечен 12 Май '19 12:00

изменен 12 Май '19 13:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Логарифм $%n$%-го члена последовательности равен $%\sum\limits_{k=1}^n\ln(1-\frac{k}{n^2})=\sum\limits_{k=1}^n(-\frac{k}{n^2}+O(\frac{k^2}{n^4}))=-\frac{n+1}{2n}+O(\frac1n)$%, что стремится к $%-\frac12$%, то есть предел из условия равен $%\frac1{\sqrt{e}}$%.

Оценка "О большое" здесь равномерная, так как $%x < -\ln(1-x) < x+x^2$% при достаточно малых положительных $%x$%.

ссылка

отвечен 12 Май '19 12:13

изменен 12 Май '19 12:33

1

@falcao, спасибо большое!
Но разве e^(-1/2) не равно ответу из решения выше? Не понимаю, откуда у Вас минус вылез

(12 Май '19 12:25) Имяяя

@Имяяя: конечно, равно. Это опечатка -- минус там уже учтён в показателе степени: $%e^{-1/2}$%.

(12 Май '19 12:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×174

задан
12 Май '19 11:17

показан
722 раза

обновлен
12 Май '19 13:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru