1
1

Петя играет в игру. Изначально у него есть 6 рублей. На каждом шаге подбрасывается правильная монета. Если выпал орёл, то Петя получает 6 рублей. Если выпадает решка - Петя теряет половину суммы, которая была у него на момент выпадения. Если после выпадения решки выпала ещё одна - то игра останавливается. Требуется найти математическое ожидание суммы, которую будет иметь Петя на конец игры.

Мой достаточно громоздкий подход заключается в подсчёте возможных комбинаций и дальнейшем суммировании. Как ещё можно подойти к этой задаче?

задан 13 Май 12:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я изложу "лёгкое" решение этой задачи, которое придумал сегодня в перерыве между лекциями, вскоре после прочтения условия. Там чисто теоретически надо что-то добавочно обосновывать -- в частности, конечность матожидания, и кое-что ещё. Но зато ответ получается быстро, без разбора большого числа случаев и рассмотрения рядов. На худой конец, это всё можно считать "эвристическим" рассуждением, помогающим найти ответ.

Пусть текущеее состояние игрока равно x. Введём две функции f(x) и g(x). Вторая будет означать матожидание итоговой суммы для случая, когда решка только что выпадала. Первая -- матожидание для случая, когда перед этим выпадал орёл или не выпадало ничего. Составим уравнения.

Для функции f(x), если выпал орёл, то далее "капитал" составит x+6, и дальнейшее матожидание равно f(x+6). Если решка, то "капитал" равен x/2, а дальнейшее матожидание равно g(x/2). По формуле полной вероятности, имеем функциональное уравнение f(x)=(f(x+6)+g(x/2))/2.

Второй случай, для g(x): если выпал орёл, то далее имеем слагаемое f(x+6). Если решка, то игра закончилась, и выигрыш составит x. Итого g(x)=(f(x+6)+x)/2.

Будем искать f(x) и g(x) в виде линейных функций. Положим f(x)=ax+b. Из второго уравнения выражаем g(x), и далее подставляем в первое. Несложные вычисления приводят к ответу a=1/3, b=6. То есть f(x)=x/3+6, g(x)=2x/3+4. Эти функции подходят. Если считать найденные значения единственно возможными, то нам осталось найти f(6)=8, что является ожидаемым выигрышем.

Численный эксперимент с методом Монте - Карло подтверждает, что средний выигрыш (значение суммы в конце) близок к 8.

Для дополнительных обоснований можно будет сделать добавление.

ссылка

отвечен 14 Май 0:55

@falcao, интересно, спасибо. Изначально задача мне также напомнила задачу про матожидание длины последовательности из орлов и решек, в которой остановка происходит при выпадении определенной комбинации - решение без громоздких сумм также использовало систему уравнений, хотя и не функциональных.

(14 Май 1:04) elman

@elman: на эту тему я когда-то давно писал у себя в блоге -- см. здесь вопросы, и здесь ответы. Там обоснование конечности матожидания, а также применяемой техники осуществляется проще.

(14 Май 2:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,492
×77
×60
×17

задан
13 Май 12:02

показан
103 раза

обновлен
14 Май 2:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru