Для любых $%a,b,c,d > 0 $% докажите что: $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{a+d} + \frac{d}{a+b} \geq 2$$ Я делал так: $$((b+c)+(c+d)+(a+d)+(a+b))(\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+d} + \frac{1}{a+d} + \frac{1}{a+b})\geq 16$$ Далее, упростил получилось: $$\frac{a+d}{b+c} + \frac{a+b}{c+d} + \frac{b+c}{a+d}+ \frac{c+d}{a+b} \geq 4$$

Последнее доказать не смог.

Точнее из последнего,выделил то что нужно,а дальше осталось доказать: $$\frac{d}{b+c} + \frac{a}{c+d} + \frac{b}{a+d} + \frac{c}{a+b} \geq 2$$

задан 13 Май 17:17

изменен 13 Май 17:27

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$(...)(a (b+c)+b (c+d)+c (d+a)) \ge (a+b+c+d)^2$$

$$(...) \ge \dfrac {(a+b+c+d)^2}{(ab+bc+cd+da)+2 (ac+bd))} \ge 2 $$

$$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 2(ac+bd)$$

ссылка

отвечен 13 Май 17:57

@Sergic Primazon Спасибо!

(13 Май 18:13) potter
10|600 символов нужно символов осталось
3

Замена $%x_1=b+c, x_2=c+d, x_3=a+d, x_4=a+b$%. Тогда $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}-1+a(x_1+x_3)(\frac{1}{x_1x_3}-\frac{1}{x_2x_4})$$. С другом стороны $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b}=\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1}+\frac{x_1}{x_3}-1-b(x_1+x_3)(\frac{1}{x_1x_3}-\frac{1}{x_2x_4})$$. Если $%x_2x_4 \ge x_1x_3$%, то достаточно доказать, что $%\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_2}+\frac{x_2}{x_3} \ge 3 $%. Если же $%x_2x_4 < x_1x_3$%, то достаточно доказать, что $%\frac{x_3}{x_4}+\frac{x_4}{x_1}+\frac{x_1}{x_3} \ge 3$%. Обе эти неравенства с тройками в правой части легко доказываются как неравенства между средним арифметическим и геометрическим.

ссылка

отвечен 13 Май 18:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×195
×184

задан
13 Май 17:17

показан
64 раза

обновлен
13 Май 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru