Чему равен этот двойной предел? $$lim (n (sin \frac{\pi}{2n})^{x})$$ при $$ n \rightarrow \infty, x\rightarrow 1$$

задан 21 Май '13 10:55

изменен 21 Май '13 18:47

Deleted's gravatar image


126

Признаться, я с повторными не сталкивался. У меня имелся в виду двойной, который имеет предел A = ?, при одновременном, связанном приближении своих переменных к своим пределам.

(21 Май '13 16:39) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: Двойного предела не существует, так как не существует одного из повторных. Наличие двойного предела -- это условие весьма сильное.

(21 Май '13 22:23) falcao
1

По большому счету двойной предел может существовать даже если повторный и не существует. Правда, этр бывает при "дырявой" области определения.

(21 Май '13 23:54) DocentI

У меня этот предел равен 1. Наверно, я ошибся. Хотя вроде практически на калькуляторе проверял на числах n = 1 000, 2 000... и соответствующих им x. При возрастании n x стремится к 1. Где ошибка, не пойму.

(21 Май '13 23:58) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: если взять $%x$% чуть меньше 1 и устремить $%n$% к бесконечности, то выражение будет стремиться к бесконечности. Если же взять $%x$% чуть больше 1, а $%n$% устремить к бесконечности, то выражение будет стремиться к нулю. Заметьте, что $%x$% и $%n$% здесь как бы совершенно независимы, но если их удачно согласовать, то можно это сделать так, что предел будет существовать (но уже для другой задачи).

(22 Май '13 0:14) falcao

@nikolaykruzh..., У вас путаница в терминологии. Вы говорите о двойном пределе и в то же время о "связанном стремлении" неизвестных к своим пределам. Так не бывает. Понятие "двойной предел" предполагает, что переменные стремятся к своим крайним значениям независимо друг от друга.

(22 Май '13 0:22) DocentI

Если рассматривать половину окружности и разбить её на n равных дуг, которые стянуты равными хордами, то возникает задача, которую я сообщил: сумма хорд больше диаметра (по длинам).Чтобы из неравенства получить равенство, возводим числа в степень x < 1. Так возник этот предел, который я, видимо, удачно согласовал и получил 1. Ну, а "путаница в терминологии" - это у меня постоянное свойство, как у пьяницы - дрожание рук.

(22 Май '13 2:04) nikolaykruzh...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
4

В двойных пределах важен порядок следования. Обычно пишут два знака $%\lim$%, и под каждым указывают, что куда стремится.

Если зафиксировать $%n$%, а потом рассмотреть предел выражения при $%x\to1$%, то получится $%n\sin\frac{\pi}{2n}$%, что с учётом "первого замечательного предела" стремится к $%\pi/2$% при $%n\to\infty$%.

При другом порядке следования знаков предела, можно доказать, что предел не существует.

ссылка

отвечен 21 Май '13 12:35

Порядок следования важен в повторных пределах $$\lim\limits_{x\to a}\lim\limits_{y\to b}{f(x, \ y)}$$ и $$\lim\limits_{y\to b}\lim\limits_{x\to a}{f(x, \ y)}.$$ Двойной же предел существует и равен $%A:\quad\lim\limits_{(x,\ y)\ \to (a,\ b)}{f(x, \ y)}=A,$% если $$(\forall{\varepsilon>0})(\exists{\delta>0}):\;\;\forall(x,\ y)\in U_\delta((a,\ b)) \Rightarrow |f(x,\ y)-A|<{\varepsilon}.$$

(21 Май '13 15:01) Mather

@Mather: да, Вы совершенно правы насчёт терминологии. Я сказал о двойных пределах, хотя имелись в виду, конечно, повторные.

(21 Май '13 15:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×384
×6

задан
21 Май '13 10:55

показан
1188 раз

обновлен
22 Май '13 2:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru