1
1

Найти длину пространственной дуги $$ x^{2} - y^{2} = \frac{\ 9 z^{2}}{\ 8} , (x + y)^{2} = 8(x - y) $$ от $$ (0, 0, 0) $$ до точки с аппликатой $$ z_{0} = \frac{1}{3} $$

P.S.: это номер из Кудрявцева - том 3, §10 №82 (6), но ни тут, ни в гугле, у меня не получилось найти хорошего объяснения и/или разбора, как делать подобные номера. Ответ в Кудрявцеве $$ \frac{9 \sqrt{2}}{16} $$

задан 13 Май 19:27

изменен 13 Май 20:07

Есть версия, что все начинается с того, что дуга задается пересечением этих фигур в трехмерном пространстве. Тогда вторая конечная точка будет $$ \big( \frac{9}{16}, \frac{7}{16}, \frac{1}{3} \big) $$. Тогда задачу можно сформулировать проще - длина описанной выше дуги от (0, 0, 0) до $$ \big( \frac{9}{16}, \frac{7}{16}, \frac{1}{3} \big) $$

(13 Май 19:33) Мэт
10|600 символов нужно символов осталось
3

Условие $%z_0=\frac{1}{3}$% намекает на то, что в качестве параметра надо взять $%z$%. Т.е. надо решить систему относительно $%z$%. Первое уравнение преобразуем так: $%8(x-y)(x+y)=9z^2$%, откуда, используя второе уравнение, получаем $%x+y=\sqrt[3]{9z^2}$%. Подставляя это в преобразованное первое уравнение, получим $%x-y=\frac{\sqrt[3]{81z^4}}{8}$%. Из этой более простой системы и выражаем $%x=x(z), y=y(z)$%. Причём исключительный случай $%z=0$%, возникший там по ходу дела, подходит и под получаемое выражение. Дальше -- считаем интеграл $%\displaystyle\int\limits_0^{\frac{1}{3}}\sqrt{(x'(z))^2+(y'(z))^2+1}dz.$% Прикинул в уме, что после пары простых замен интеграл должен свестись к чему-то удобоваримому.

ссылка

отвечен 13 Май 20:09

изменен 13 Май 20:27

@caterpillar: наверное, лучше за параметр принять t=(3z)^(1/3), хотя то же самое должно получиться после замен. И пределы интегрирования там более приятные будут.

@Мэт: я проверил -- с ответом сошлось. После извлечения корня там будет интеграл от многочлена.

(14 Май 3:44) falcao

@falcao @caterpillar Спасибо!

(15 Май 13:55) Мэт
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,134
×1,689
×1,134
×7
×3

задан
13 Май 19:27

показан
101 раз

обновлен
15 Май 13:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru