Решить систему: $$ 3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1}{y})=5(z+\frac{1}{z}) $$ $$ yx+xz+yz = 1 $$

задан 14 Май 0:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если (x,y,z) -- решение, то (-x,-y,-z) -- также решение. Меняя знак, можно считать, что x > 0. Тогда x+1/x > 0, откуда следует положительность остальных чисел ввиду неравенств y+1/y > 0, z+1/z > 0. Поэтому будем решать систему для положительных чисел.

Представим числа в виде тангенсов некоторых углов: x=tg(a), y=tg(b), z=tg(c). Тогда x+1/x=1/(sin(a)cos(a))2/sin(2a), откуда с учётом симметричных равенств получаем sin(2a):sin(2b):sin(2c)=3:4:5. Далее, условие xy+xz+yz=1 превращается в sin(a)sin(b)cos(c)+sin(a)cos(b)sin(c)+cos(a)sin(b)sin(c)=cos(a)cos(b)cos(c), что далее при помощи тригонометрических тождеств принимает вид sin(a+b)sin(c)=cos(a+b)cos(c), и далее cos(a+b+c)=0. Углы a,b,c мы вправе взять из интервала (0,п/2), и тогда их сумма принадлежит (0,3п/2). Косинус обращается в ноль только при a+b+c=п/2, откуда мы заключаем, что 2a, 2b, 2c суть углы треугольника.

Вместе с предыдущей пропорцией и теоремой синусов, выясняем, что это пифагоров треугольник со сторонами 3, 4, 5 с точностью до подобия. Отсюда сразу 2c=п/2, и z=tg(c)=1. Далее, x=tg(a)=(sin(2a))/(1+cos(2a))=1/3 и y=tg(b)=sin(2b)/(1+cos(2b))=1/2.

ссылка

отвечен 14 Май 3:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×293
×184

задан
14 Май 0:04

показан
46 раз

обновлен
14 Май 3:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru