Имеется числовая последовательность $%a_n$% ($%n\ge1)$%, для которой верно следующее: $% a_{1} \in (0; 1) $%; $% a_{n+1} = a_{n}^{2} $% или $% a_{n+1} = \sin \frac{\pi}{2} a_{n} $% (то есть для разных $%n$% могут выполняться разные равенства). Может ли быть так, что $% \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \in (0; 1) $%?

Несложно заметить, что если для всех $%n$% выполняется только одно равенство, то предел будет равен 1 в случае равенства с синусом и 0 в случае равенства с квадратом. Также если рассмотреть повторяющиеся последовательности равенств (например, подряд выполняются равенство с синусом и с квадратом поочередно), то в зависимости от значения $% a_{1} $% предел равен 0 или 1. Кажется, что ответ на вопрос отрицательный. Так ли это?

задан 14 Май 12:47

изменен 14 Май 19:57

falcao's gravatar image


240k3447

@elman: а что мешает взять рекуррентное соотношение a(n+1)=f(a(n)), где f(x)=1/2 -- постоянная функция? То есть понятно, что предел может быть каким угодно.

Можно сделать и так, чтобы функция не была постоянной. Сначала загадываем последовательность a(n)->a, а потом под неё подбираем функцию, которая a(n) переводит в a(n+1), а в остальных точках она задана как угодно. То есть тут никаких ограничений не возникает.

(14 Май 12:59) falcao

@falcao там была опечатка во втором соотношении. Но все же не ясно, почему можно взять произвольное соотношение? Для каждой пары последовательных членов выполняется ровно одно - $% a_{n+1} = a_{n}^{2} $% или $% a_{n+1} = \sin \left( \frac{\pi}{2} a_{n} \right) $%. Или суть в том, что по данным соотношениям можно построить функцию, которая будет им удовлетворять и в то же время сохранять предел некоторой исходной последовательности?

(14 Май 13:30) elman

@elman: видимо, я не так понял условие. Кстати говоря, текст будет лучше отображаться, если брать "сложную" запись с фигурными скобками и заменить на $%a_n$%). Сейчас я понимаю так, что Вы берёте конкретную последовательность, где a(n+1) равно или a(n)^2, или sin(пa(n)/2). Тогда, если a(n)->a, то для одной из двух Ваших функций равенство a(n+1)=f(a(n)) верно для бесконечно многих n. Функция непрерывна, можно перейти к пределу. Получится a=f(a), откуда a=0 или a=1.

(14 Май 13:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,284
×703
×302
×240

задан
14 Май 12:47

показан
111 раз

обновлен
14 Май 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru