В урне имеется N шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным. Извлекаются последовательно K шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались?

задан 14 Май 16:41

изменен 14 Май 16:41

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вероятность того, что в урне ровно $%m$% белых шаров из $%n$%, равна $%\frac{C_n^m}{2^n}$%. Это следует из того, что данный шар белый или чёрный с одинаковой вероятностью.

По формуле полной вероятности найдём вероятность того, что при $%k$% испытания с возвратом, все шары окажутся белыми. Если белых шаров $%m$%, то вероятность извлечь белый шар для одного испытания равна $%\frac{m}n$%, и для каждого из $%k$% независимых испытаний с возвратом получится $%(\frac{m}n)^k$%. Формула полной вероятности даст сумму $%\sum\limits_{m=1}^n\frac{C_n^m}{2^n}\cdot(\frac{m}n)^k$%, где суммировать можно от нуля или от единицы. Эту же сумму можно записать в виде $$\frac{C_n^1+C_n^22^k+C_n^33^k+\cdots+C_n^nn^k}{2^nn^k}.$$ Случай, когда все шары были белыми, соответствует значению $%m=n$%, и условная вероятность такого события находится по формуле Байеса: надо разделить соответствующее (последнее) слагаемое на всю сумму. Это даст ответ $$\frac{n^k}{C_n^1+C_n^22^k+C_n^33^k+\cdots+C_n^nn^k}.$$

Надо отметить, что для небольших значений $%k$% сумма в знаменателе "сворачивается", но при увеличении $%k$% происходит усложнение того, что получается.

ссылка

отвечен 14 Май 19:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,422
×8

задан
14 Май 16:41

показан
34 раза

обновлен
14 Май 19:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru