прямой сумме двух других групп только если их пересечение содержит только нейтральный элемент. Здесь я видел рассуждения вида: Если G изоморфна A + B, а А + В в свою очередь представима в виде суммы групп A + 0 и 0 + В, то группа G содержит две подгруппы, изоморфных A + 0 и 0 + B оответственно. А значит, эти две подгруппы образуют всю группу G, так как G изоморфна А + В, которые изоморфны A + 0 и 0 + B. И они не имеют пересечения так как группы A + 0 и 0 + В имеют пересечение только в элементе 0 + 0. Но здесь мне не хватает строгости, возможно, я что-то упускаю?

задан 14 Май 16:56

1

@Arkon: здесь надо начать с уточнения определений, потому что имеется два понятия прямой суммы: внешняя конструкция и внутренняя. Для внешнего случая берётся обычное прямое произведение групп A и B как множество пар вида (a,b). Здесь A изоморфно Ax{0}, и B изоморфно {0}xB. Пересечение этих двух подгрупп состоит из элемента (0,0). Это внешняя конструкция, которую для групп с аддитивной записью называют также (внешней) прямой суммой. И есть внутренняя конструкция, когда в G берутся подгруппы A, B такие, что G=A+B, и подгруппы пересекаются по нулю -- тогда это по определению так.

(14 Май 18:14) falcao

эти две подгруппы образуют всю группу G -- это утверждение неточно. Они не образуют всю группу в смысле их объединения, а верно лишь то, что любой элемент группы представим в виде суммы элементов этих подгрупп: (a,b)=(a,0)+(0,b). Доказывать тут, фактически, нечего, но надо исходить из имеющихся определений. Они могут слегка варьироваться. Например, для внутреннего случая иногда требуют, чтобы для любого g существовали единственные a из A, b из B такие, что g=a+b. Тогда нужна мини-проверка.

(14 Май 18:18) falcao

@falcao Если мы говорим о внешнем случае, достаточно ли того что А и В соответственно изоморфны непересекающимся группам, чтобы сказать что они сами не пересекаются?

(14 Май 19:30) Arkon
1

@Arkon: если случай внешний, то сами группы A и B состоят из разных элементов, и об их пересечении вообще нельзя говорить. Поэтому в такой постановке задача некорректна. А если условие "адаптировать", то окажется, что доказывать тут нечего -- всё будет следовать из определений.

Я предлагал воспроизвести ту версию определения, из которой полагается исходить -- тогда всё бы сразу встало на свои места. Но это упражнение в любом случае малосодержательное.

(14 Май 19:38) falcao

@falcao А если для внутреннего, допустим А и В - подгруппы группы G и они пересекаются, то есть есть элемент кроме нейтрального, общий для них Тогда как строить линию доказательства, что вся группа изоморфна прямой сумме этих двух подгрупп только если они не пересекаются? То что есть один элемент, общий в обоих подгруппах, которому будут изоморфен более чем один во всей группе G или как?

(14 Май 20:15) Arkon

@Arkon: А и В - подгруппы группы G и они пересекаются -- они всегда пересекаются. Важно то, пересекаются они только по нулю или нет. Содержательно здесь такое утверждение: если пересечение нулевое, и G=A+B как множество, то G изоморфна прямому произведению. Доказательство основано на том, что если a1+b1=a2+b2, то a1-a2=b2-b1. Это элемент пересечения, и он нулевой, то есть a1=a2, b1=b2. Тогда элемент g из G представим как a+b единственным способом, и ему сопоставляем пару (a,b). Это даёт изоморфизм на прямое произведение.

Последняя фраза из Вашего предыдущего комментария -- бессмыслица.

(14 Май 20:55) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×826

задан
14 Май 16:56

показан
38 раз

обновлен
14 Май 20:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru