Имеет ли решение в натуральных числах уравнение: $$x^3 + x + 4 =y^2$$

Напишу что я сделал:

$%(y+2)(y-2) = x(x^2+1)$%

Правая часть всегда делится на 2,а значит и левая.

Левая часть всегда либо нечетная ,либо кратна 4.

Следовательно, обе части уравнения должны делиться на 4.

Число $%x^2+1$% не делится на 4 ,ни при каком натуральном $%x$% , а значит :$%x=4k$%.

Также получаем ,что $%y$% - четное.Пусть $%y=2n$%

$%(2n+2)(2n-2)=4k(16k^2+1)$%

Сократив на 4,получим:

$%(n+1)(n-1) = k(16k^2+1)$%

$%n^2=16k^3+k+1$%

Дальше не смог.

задан 14 Май 19:16

изменен 14 Май 19:33

2

Ваше уравнение немного похоже на уравнение Мордела (Mordell equation), но к нему не сводится. Полагаю, что решив ваше уравнение, можно написать научную статью.

(14 Май 23:03) Witold2357
1

Оказалось,что у уравнения есть решение в натуральных числах:$%(4128 , 265222)$%.

https://math.stackexchange.com/questions/3263671/does-this-equation-have-solution?noredirect=1#comment6711204_3263671

(16 Июн 1:28) potter

@potter: а откуда сама задача? По идее, если допустить, что решение в каких-то больших числах существует, то его легко найти на компьютере. И в условии, как я сейчас заметил, не требуется это уравнение решить -- достаточно дать ответ в виде "да" или "нет".

Теория эллиптических кривых, с помощью которых это всё обычно решается -- вещь довольно сложная, и там часто приходится прибегать к какому-то нетривиальному "аппарату", уже кем-то созданному.

(16 Июн 3:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,338
×536
×1

задан
14 Май 19:16

показан
123 раза

обновлен
16 Июн 3:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru