Кажется, была уже эта задача, только не помню, когда и где.

Требуется найти сумму ряда: $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^2}{10^n}$$

Может, можно каким-то образом представить эту сумму в виде суммы нескольких геопрогов (геометрических прогрессий)?

задан 15 Май 1:08

1

Это всё более чем стандартно. Если x=1/10, то сумма ряда f(x)=x+4x^2+9x^3+... равна x(x+2x^2+3x^3+...)'=x(x(x+x^2+x^3+...)')'=x(x+1)/(1-x)^3. Подставляя x=1/10, имеем 110/729.

Суммы геометрических прогрессий тут нет. Хотя можно суммировать г.п., получая формулы сначала для nx^n, а потом уже суммировать это и получить формулы для C_n^2x^n, откуда получается и формула для n^2.

(15 Май 1:32) falcao

@falcao, большое спасибо!

(16 Май 0:19) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n $$ $$ F(x)=\int\limits_{0}^{x} \frac{f(z)}{z}\;dz = \sum_{n=1}^{\infty} n\;x^n $$ $$ \int\limits_{0}^{x} \frac{F(z)}{z}\;dz = \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} $$ $$ F(x)=x\;\left(\frac{x}{1-x}\right)' = \frac{x}{(1-x)^2} $$ $$ f(x)=x\;\left(\frac{x}{(1-x)^2}\right)' = \frac{x\;(1+x)}{(1-x)^3} $$ $$ f(0.1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{10^n} = \frac{0.1\;(1+0.1)}{(1-0.1)^3} $$

Если нигде не накосячил, то так...

ссылка

отвечен 15 Май 1:24

изменен 15 Май 1:26

@all_exist, большое спасибо!

(16 Май 0:20) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,091
×663
×9
×3
×1

задан
15 Май 1:08

показан
94 раза

обновлен
16 Май 0:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru