Два игрока играют в игру. Равновероятное подбрасывание монетки определяет кто наносит следующий удар. Наносящий удар всегда попадает в соперника. Изначально наносимый урон равен 1, при попадании в соперника он умножается на 1.4, а при получении удара сбрасывается в 1. Необходимо определить средний урон игрока на бесконечности, то есть средний урон за $%m$% ударов при $%m \rightarrow \infty$%.

задан 15 Май 4:43

@falcao есть идеи?

(15 Май 12:12) Evgeny Kondr...
1

$%\frac12\cdot 1 + \frac14 \cdot 1.4 + \frac 18 \cdot 1.4^2 +\ldots$% - это сумма геометрической прогрессии

(15 Май 13:26) spades

@spades можно пожалуйста чуточку подробнее?

(15 Май 15:09) Evgeny Kondr...

У вас урон 1 будет в половине случаев. Урон 1.4 - в четверти, 1.4^2 - в 1/8 случаев и т.д.

(15 Май 15:43) spades

@spades именно это и не могу понять, есть же еще второй игрок

(15 Май 18:49) Evgeny Kondr...

Это ли не задача с недавнего экзамена в одно известное в некоторых кругах заведение с вечерними курсами?

А так - можно было просто посчитать матожидание, заметив, в скольки случаях получается какой урон - это предложил @spades. Я решал несколько иначе. Если необходимо, могу привести решение.

(15 Май 21:49) elman

@elman да, это оттуда. Если не сложно привидите пожалуйста.

(16 Май 4:00) Evgeny Kondr...
1

Пусть $%X$% -- искомый урон, а выпадение орла умножает урон. Пусть также $%X_{O}$%, $%X_{P}$% -- средний урон для игр, начавшихся с орла и решки соответственно. Тогда $%X=\frac{X_{O}+X_{P}}{2}$%. Рассмотрим некоторую последовательность, окончившуюся орлом. С вероятностью $%\frac{1}{2}$% после орла выпадет орел, и тогда урон умножится на $%1.4$%. С той же вероятностью выпадет решка, и тогда урон станет равен $%1$%. Отсюда имеем равенство $%X_{O}=\frac{1}{2} \cdot 1+\frac{1}{2} \cdot 1.4 X_{O}$%, откуда $%X_{O}=\frac{5}{3}$%. Аналогично $%X_{P}=\frac{5}{3}$%. Но тогда $%X=\frac{5}{3}$%.

(16 Май 4:16) elman

В дополнение нужно объяснить, почему искомая величина конечна, а также почему достаточно рассмотреть лишь случай умножения урона при выпадении орла, но эти вещи, вроде бы, сложности не представляют.

(16 Май 4:19) elman

@elman откуда берется равенство для $% X_{0} $%? У вас же умножается не средний урон, а урон за предпоследний ход, нет? Да и с суммой прогрессии не очень понял пока что. В половине случаев будет наносить удар определенный игрок это понятно, но почему в половине его ударов урон будет 1? То есть будут же продолжительные последовательности его ударов.

(16 Май 6:33) Evgeny Kondr...
1

Для понимания прогрессии можно построить дерево переходов (probability tree diagram).

По поводу равенств - в них рассматриваются именно математические ожидания, а не конкретные значения урона. Математическое ожидание - это, грубо говоря, усредненное по всем возможным играм значение величины. Ясно, что усредненное значение не зависит от того, какую именно игру мы рассматриваем. Поэтому, рассматривая переход O->O или O->P, мы пользуемся как "локальными" свойствами (урон или умножается на $%1.4$%, или принимает значение $%1$%), так и "глобальными", а именно независимостью матожидания.

(16 Май 16:19) elman
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,498
×38

задан
15 Май 4:43

показан
121 раз

обновлен
16 Май 16:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru