Доказать следующее тождество(при n=20) $$\sum\limits_{k=1}^n C_{20}^k\cdot \cos(k t)=2^n\cdot\cos^n(0,5 t)\cdot\cos(10t) $$

задан 15 Май 9:22

изменен 15 Май 10:51

all_exist's gravatar image


40.7k211

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$ \sum_{k=1}^n C_{n}^k \cdot\cos(k t)=\text{Re}\left( \sum_{k=1}^n C_{n}^k \cdot e^{ikt} \right) $$ Согласно биному Ньютона $$ \sum_{k=1}^n C_{n}^k \cdot e^{ikt} = \left( 1+ e^{it} \right)^n $$

Из простых геометрических соображений или пользуясь тригонометрией, получаем, что $$ 1+ e^{it} = (1+\cos t) +i\sin t = 2\cdot\cos \frac{t}{2}\left(\cos \frac{t}{2} +i\sin\frac{t}{2}\right) $$

Остаётся возвести в степень, используя формулу Муавра... и взять действительную часть...

ссылка

отвечен 15 Май 10:58

Большое спасибо!

(15 Май 11:55) Nat789
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,079

задан
15 Май 9:22

показан
50 раз

обновлен
15 Май 11:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru