Найти все значения параметра $%a$% ,при которых число решений уравнения $%d(x)=a\sqrt{x}$% (где $%d(x)$% - расстояние от $%x$% до ближайшего целого числа) равно 2017.

задан 15 Май 18:17

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть далее $%a > 0$%, так как при $%a = 0$% исходное уравнение имеет бесконечно много решений.

Для начала рассмотрим уравнение на отрезке $%[0; 1]$%. Заметим, что если $% a = \frac{1}{\sqrt{2}} $%, то исходное уравнение имеет ровно два решения на $%[0; 1]$%; если же $% a < \frac{1}{\sqrt{2}} $%, то решений ровно три.

Обобщим наблюдение: на отрезке $%[k; k + 1], \ k \in \mathbb{N}$% уравнение $%d(x) = a \sqrt{x}$% имеет ровно два корня при $%a = \frac{1}{\sqrt{4k + 2}}$% и ровно три корня при $%a < \frac{1}{\sqrt{4k + 2}}$%.

Теперь посчитаем количество корней уравнения на всей числовой прямой. Построим следующую последовательность промежутков для $%a$%: $$ \left( \frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty \right), \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}, \left( \frac{1}{\sqrt{6}}; \frac{1}{\sqrt{2}} \right), \dots, \left\{ \frac{1}{\sqrt{4n+2}} \right\}, \left( \frac{1}{\sqrt{4n+6}}; \frac{1}{\sqrt{4n+2}} \right), \dots$$

Несложно понять, что решений на этих промежутках будет соответственно $%1, 2, 3, \dots, 2n + 2, 2n + 3, \dots$%

Тогда $%2017$% решений исходное уравнение будет иметь при $% a \in \left( \frac{1}{\sqrt{4034}}; \frac{1}{\sqrt{4030}} \right)$%.

ссылка

отвечен 16 Май 6:06

изменен 16 Май 14:22

@elman: из того, что Вы сказали, вроде бы следует, что число решений на промежутках соответственно равно 0, 1, 2, ... ?

(16 Май 13:37) falcao
1

@falcao когда начинал писать решение, забыл учесть, что $%x=0$% всегда корень.

(16 Май 14:21) elman

Однако,к примеру число $%a=\frac{1}{\sqrt{4033}}$% не подходит.

Также не подходит: $%a=\frac{1}{\sqrt{4032}}$%

(18 Май 19:59) potter
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×240
×187

задан
15 Май 18:17

показан
111 раз

обновлен
18 Май 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru