а) Какое наименьшее количество клеток квадрата размером $%7\times 7$% нужно закрасить, чтобы в любом его подквадрате размером $%4\times 4$% были закрашены ровно 5 клеток?

б) А наибольшее?

в) Дабы не открывать новую тему, вот ещё одна задача с той же олимпиады: Доказать, что уравнение $%x^3+y^4=7$% не имеет решений в целых числах.

задан 16 Май 0:25

изменен 17 Май 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Задачу с пунктами а) и б) я сходу не смог решить, а потом как-то про неё забыл. Надо будет подумать снова.

Что касается пункта в), то известно более сильное утверждение -- для квадрата вместо 4-й степени. В чуть изменённых обозначениях, y^2=x^3+7. Достаточно решать в натуральных числах. Легко видеть, что x нечётно, y чётно. Тогда y^2+1=(x+2)(x^2-2x+4)=(x+2)((x-1)^2+3). Второй сомножитель имеет вид 4k+3, поэтому имеет простой делитель того же вида. Известно, что числа вида y^2+1 не могут иметь делителей такого вида (в противном случае в группе ненулевых остатков по модулю p есть элемент порядка 4, и тогда p-1 делится на 4 по теореме Лагранжа), и отсюда имеем противоречие.

ссылка

отвечен 18 Май 0:31

@falcao, большое спасибо! Кстати, если всё-таки не заменять 4-ую степень квадратом, то всё легко решается по модулю 13 :)

(18 Май 0:44) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я подозревал, что для 4-й степени может быть какое-то особое решение, но не стал над ним думать.

Тот факт, на который я сослался, упомянут в книге Серпинского про 250 задач, и он вроде бы называется теоремой Лебега.

(18 Май 0:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128
×58
×16
×10
×2

задан
16 Май 0:25

показан
125 раз

обновлен
18 Май 0:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru