арифметика - Сложная задача типа C6: найти натуральные числа

Задача вообще-то не такая сложная -- она решается перебором.

Нужно решить в натуральных числах уравнение $$a+b+c+d=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\right).$$

Предположим, что среди чисел нет единиц. Тогда обратные величины не превосходят $%1/2$%, их сумма не больше двух, поэтому $%a+b+c+d\le42\cdot2/17 < 5$%, а тогда все числа равны 1, что противоречит предположению. Значит, единицы есть, и можно положить $%d=1$%. Уравнение принимает вид $$a+b+c=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)+\frac{25}{17}.$$ Снова предположим, что единиц нет среди оставшихся чисел. Тогда сумма обратных не больше $%3/2$%, и правая часть не превосходит $%88/17$%. Это значит, что $%a+b+c\le5$%, что противоречит предположению. Значит, можно положить $%c=1$% и прийти к уравнению $$a+b=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b\right)+\frac{50}{17}.$$ Здесь уже предположение о том, что $%b=1$%, приводит к квадратному уравнению $%17a^2-75a-42=0$%, корни которого иррациональны. Следовательно, $%a,b\ge2$%.

Применяя тот же приём, то есть используя неравенство $%1/a+1/b\le1$%, получаем, что $%a+b\le92/17$%, то есть $%a+b\le5$%. Ясно, что случай $%a=b=2$% невозможен (он приводит к равенству $%a+b=92/17$%), поэтому единственная оставшаяся возможность -- это числа 3 и 2. Легко проверяется, что этот случай подходит: $%3+2+1+1=7$%; $%1/3+1/2+1/1+1/1=17/6$%, и отношение первого числа ко второму равно в точности $%42/17$%. Других решений нет, поэтому задача имеет ровно одно решение (с точностью до перестановки): числа равны 3, 2, 1, 1.