Среднее арифметическое четырех натуральных чисел в $%\frac{42}{17}$% раза больше, чем среднее арифметическое обратных чисел. Найдите эти натуральные числа...

задан 21 Май '13 17:29

изменен 21 Май '13 23:26

похоже никто не может решить((

(21 Май '13 22:42) SenjuHashirama

Не теряйте надежду, все думают.

(21 Май '13 23:26) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

Задача вообще-то не такая сложная -- она решается перебором.

Нужно решить в натуральных числах уравнение $$a+b+c+d=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d\right).$$

Предположим, что среди чисел нет единиц. Тогда обратные величины не превосходят $%1/2$%, их сумма не больше двух, поэтому $%a+b+c+d\le42\cdot2/17 < 5$%, а тогда все числа равны 1, что противоречит предположению. Значит, единицы есть, и можно положить $%d=1$%. Уравнение принимает вид $$a+b+c=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)+\frac{25}{17}.$$ Снова предположим, что единиц нет среди оставшихся чисел. Тогда сумма обратных не больше $%3/2$%, и правая часть не превосходит $%88/17$%. Это значит, что $%a+b+c\le5$%, что противоречит предположению. Значит, можно положить $%c=1$% и прийти к уравнению $$a+b=\frac{42}{17}\left(\frac1a+\frac1b\right)+\frac{50}{17}.$$ Здесь уже предположение о том, что $%b=1$%, приводит к квадратному уравнению $%17a^2-75a-42=0$%, корни которого иррациональны. Следовательно, $%a,b\ge2$%.

Применяя тот же приём, то есть используя неравенство $%1/a+1/b\le1$%, получаем, что $%a+b\le92/17$%, то есть $%a+b\le5$%. Ясно, что случай $%a=b=2$% невозможен (он приводит к равенству $%a+b=92/17$%), поэтому единственная оставшаяся возможность -- это числа 3 и 2. Легко проверяется, что этот случай подходит: $%3+2+1+1=7$%; $%1/3+1/2+1/1+1/1=17/6$%, и отношение первого числа ко второму равно в точности $%42/17$%. Других решений нет, поэтому задача имеет ровно одно решение (с точностью до перестановки): числа равны 3, 2, 1, 1.

ссылка

отвечен 21 Май '13 23:42

Спасибо! P/s Для Вас она не сложная, а для меня сложно))

(22 Май '13 16:41) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: Я здесь не имел в виду себя или кого-то, а говорил об объективном показателе сложности. Основание для такого заключения было следующее: слева стоит сумма чисел, она "большая". Справа -- сумма обратных величин, она "маленькая", со сравнительно небольшим коэффициентом. Значит, числа небольшие, и всё можно перебрать. Остальное -- дело техники. А бывают такие задачи, где вообще непонятно, с какого конца подойти. Или ещё бывают задачи, требующие т.н. "сообразительности", которая есть далеко не у всех.

(22 Май '13 16:45) falcao

В рамках школьного курса мы подобные задачи не решали, конечно я сам стараюсь решать как можно больше "олимпиадных" задач, но пока видимо не хватает опыта.

(22 Май '13 17:22) SenjuHashirama

Конечно, это задача относится к категории "повышенной сложности", и чем-то близка к задачам олимпиадного типа. Но мне казалось, что это изначально подразумевалось. Здесь отличие только в том, что делать ставку на нахождение "красивого" решения вряд ли имеет смысл. Скажем, из общих соображений вряд ли можно вывести, что соответствующее квадратное уравнение не будет иметь решений, и так далее.

(22 Май '13 17:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×285
×149

задан
21 Май '13 17:29

показан
2052 раза

обновлен
22 Май '13 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru