Из того самого учебника времен "Колмогоровской строгости".

Цитирую:

Геометрической фигурой называется любое множество точек, в том числе пустое множество.

У меня данное определение вызывает сомнения.

Вот предположим, у нас есть треугольник. Без всякого сомнения, это множество точек. Но только КАКИХ точек?

Мы можем просто сказать, что это множество трех точек вершин этого треугольника. Ибо именно через эти точки можно задать весь треугольник. Тогда мы смело можем называть геометрической фигурой любое множество точек, хаотично разбросанных на плоскости. Ибо с помощью отрезков эти точки можно соединить в одну фигуру. Но с другой стороны, теже три точки можно просто последовательно соединить в незамкнутую ломанную. И будет у нас уже другая фигура. Но тогда получается, что эти три точки с точки зрения данного определения являются одновременно и незамкнутой ломанной и треугольником! Но разве может одно и тоже множество точек быть ОДНОВРЕМЕННО разными фигурами?? Нет конечно, данная ситуация невозможна! Значит данное допущение неверно, отметаем.

В качестве альтернативы, мы можем исходить из того, что мы будем считать не только три точки вершин треугольника, но и точки принадлежащие отрезкам, которые соединяют эти вершины. Это уже гораздо более логично. Но тогда возникает другая проблема. Как быть с точками, хаотично разбросанными по плоскости, которые не связаны между собой отрезками? Я вот что-то не могу припомнить ни одного случая, чтобы подобный хаотичный набор точек считался геометрической фигурой(сарказм).

Или я чего-то не понимаю, или я где-то допустил ошибку в своих рассуждениях, или же определение неверно.

задан 21 Май '13 20:48

изменен 21 Май '13 23:36

У меня есть подозрение, что возможно в случае с разбросанными точками некорректно по каким-то причинам вообще говорить об множестве точек.

(21 Май '13 21:21) I_Robot

Весь вопрос в том, можно ли считать хаотично разбросанные по плоскости(и к тому же разрозненные) точки за геометрическую фигуру?

(21 Май '13 23:34) I_Robot
2

Нет, вполне корректно. У вас в рассуждениях есть ошибки. Вы что-то делаете с точками (например, соединяете отрезками) и говорите, что те же точки определяют другое множество. Другое. Но не те же точки.
Хаотично расположенные точки являются фигурой не потому, что их можно объединить отрезками (это будет уже другое множество), а сами по себе!

(21 Май '13 23:39) DocentI

Думаю, вам просто не нравятся такие хаотичные наборы. Но вот уж это для математики совершенно безразлично!

(21 Май '13 23:41) DocentI

Большое спасибо, что прояснили ситуацию!

"вам просто не нравятся такие хаотичные наборы" Дело не в моих пристрастиях к порядку. Просто я никогда не видел, чтобы подобные наборы интерпретировались как геометрические фигуры. Но если это так, то значит я сегодня расширил свой опыт. Чтож, буду знать.

(21 Май '13 23:46) I_Robot

"на что Вы собираетесь в таком доказательстве опираться?..." А что, раз я пытаюсь опровергнуть определение которое я дал, то мне уже и опираться не на что? Не вижу ничего необычного в том, чтобы просто использовать внутрение логические противоречия, которые должны возникнуть в случаях правоты того, кто доказывает методом от противного.

(21 Май '13 23:54) I_Robot

all_exist, я закрываю вопрос в Вашу пользу исключительно из-за своей жадности до очков. Реальное же "Спасибо" я хочу сказать только DocentI.

(21 Май '13 23:55) I_Robot

Можете передарить... я не обидчив...

(22 Май '13 0:02) all_exist

Пожалуйста! Чуть что - обращайтесь. Сама эта ситуация, когда взрослый человек задает "детские" вопросы весьма интересна.

(22 Май '13 0:15) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

Треугольником $%ABC$% называется фигура, ограниченная тремя отрезками -- сторонами треугольника. (Имеется в виду, конечно, та часть, которая находится внутри, а не снаружи.) То есть это множество не только вершин, но и точек на сторонах, и точек внутри треугольника. Это правда, что треугольник однозначно задаётся своими вершинами, но если что-то чем-то задаётся, то это не значит, что одно можно отождествить с другим.

То, что в число геометрических фигур попадает вообще всё, включая разрозненные совокупности точек, это совершенно верно. Пропадают какие бы то ни было ограничения, и это очень удобно. В противном случае пришлось бы проводить искусственные границы: вот это фигура, а то уже не фигура. В математике же часто возникают весьма причудливые объекты, поэтому ограничения не нужны вообще. До этой простой идеи додумались только в XX веке.

Возвращаясь к ломаным, треугольникам и прочему: если я возьму три вершины, то это будет множество из трёх элементов. Если проведу стороны, получится объединение трёх отрезков. Если добавлю внутреннюю часть, то получу треугольник. Это всё -- разные множества точек. Напомню, что множества полагаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть любой элемент одного множества принадлежит другому, и наоборот. Из этого ясно, что рассмотренные выше множества различаются.

ссылка

отвечен 21 Май '13 23:59

Мне вот только интересно, а разве у математиков не возникают проблемы с такими причудливыми фигурами, которые состоят из разрозненных точек? Лично мне кажется, что это должна быть порядочная головная боль.

(22 Май '13 0:11) I_Robot

Такие множества изучать, конечно, сложнее. Но они реально возникают. Например, канторово множество. Об этом можно прочитать в популярной книжке Виленкина.

(22 Май '13 0:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394
×366

задан
21 Май '13 20:48

показан
7135 раз

обновлен
22 Май '13 0:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru