Пусть $%S$% — полугруппа, в которой для некоторого $%k \in \mathbb N$% выполняются соотношения: $%\forall a, b \in S: a^{k+1}=a, ab^ka=ba^kb $%. Доказать, что умножение коммутативно.

Честно говоря, не знаю, как подступиться. Из условия $%a^{k+1}=a$% кажется, что $%S=\{e\}$%, где $%e$% - единичный элемент, но, вероятно, я его некорретно понимаю.

задан 18 Май 23:20

@outsider: здесь дана полугруппа, поэтому в ней вообще может не быть нейтрального элемента, и законы сокращения тоже применять нельзя.

Стратегия должна быть такая: поскольку даны тождества, в них можно подставлять любые выражения вместо букв, получая разные следствия. Например, при k=1 у нас a^2=a, aba=bab. Отсюда ab=(ab)^2=(aba)b=(bab)b=bab. Аналогично, ba=aba. Следовательно, ab=ba.

(19 Май 0:26) falcao

@falcao, благодарю за пояснение! Для меня удивительно, как Вы такую цепочку следствий увидили.

(19 Май 0:42) outsider

@outsider: это самый простой случай, а вот уже для k=2 надо догадываться, какие подстановки и преобразования нужно делать. Такого рода задачи бывают весьма сложными -- особенно когда речь идёт о следствиях тождеств. Слишком много возможностей, и увидеть правильную не очень легко.

(19 Май 0:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×865
×702
×9

задан
18 Май 23:20

показан
36 раз

обновлен
19 Май 0:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru