Число а является корнем многочлена f(x), b выражается через а. Обосновать теоретически существование многочлена g(x) с целыми коэффициентами, корнем которого является b. Найти этот многочлен.

f(x)=x^3+3x^2+2x-3; b=a^2-2a-2

задан 21 Май '19 22:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь надо говорить о том, что b выражается через a алгебраически, то есть в виде многочлена с целыми (или рациональными) коэффициентами.

То, что b обладает требуемым свойством, следует из известного факта, что алгебраические числа образуют поле. Можно то же самое обосновать напрямую: если a -- корень многочлена f(x) степени n, то Q[a] конечномерно как векторное пространство над Q, причём размерность не превосходит n. Тогда элементы 1, b^2, ... , b^n линейно зависимы, то есть b будет корнем (ненулевого) многочлена над Q степени <=n.

На этом эффекте может быть основан метод нахождения многочлена g(x) с условием g(b)=0 через поиск неопределённых коэффициентов. Но это может потребовать каких-то вычислений. Здесь же всё делается проще. Нам дано, что b+3=(a-1)^2. Число a-1 является корнем многочлена f(x+1)=x^3+6x^2+11x+3. Оно, тем самым, удовлетворяет условию x(x^2+11)=-3(2x^2+1), поэтому y=x^2=(a-1)^2 удовлетворяет уравнению y(y+11)^2=9(2y+1)^2, то есть y^3-14y^2+85y-9=0. Подставляя y=b+3 и упрощая, имеем искомое уравнение b^3-5b^2+28b+147=0.

ссылка

отвечен 21 Май '19 22:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,252
×1,027
×503
×85

задан
21 Май '19 22:14

показан
465 раз

обновлен
21 Май '19 22:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru