|
При каких простых значениях $%p$% , число : $% p^2-p+1 $% является точным кубом натурального числа? задан 23 Май '19 22:43 
potter |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
23 Май '19 22:43
показан
1603 раза
обновлен
20 Окт '19 22:15
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
$$(p-1)p=(n-1)(n^2+n+1),n< p⇒$$ $$n^2+n+1=kp⇒(p-1)=(n-1)k⇒p=(n-1)k+1⇒n^2+n+1=k((n-1)k+1)⇒$$ $$n^2-(k^2-1)n+k^2-k+1=0,$$ $$D=k^4-2k^2+1-4k^2+4k-4=k^4-6k^2+4k-3,$$ Для $%k>3$% имеет место неравенство $$(k^2-3)^2< D=k^4-6k^2+4k-3<(k^2-2)^2,$$ значения $%k\le3 $% также не подходят.
@EdwardTurJ: я такой пусть рассматривал, то есть получал уравнение с участием k, но оно показалось мне сложным, и я не додумался до идеи того, что дискриминант там расположен между двумя квадратами.
Вместо этого я пробовал сделать в общем виде, не опираясь на простоту p. Решением там будет p=8, и оно вроде бы всего одно. И там возникают интересные уравнения с кубами (типа x^3=2y^3+1), которые должны как-то исследоваться при помощи чисел Z[(-1+isqrt(3))/2], но технически это не очень просто.
@EdwardTurJ: сейчас только заметил, что это новая задача -- её я вообще не видел. Имелась в виду другая, похожая, где было p(p-1)=2(n^3+1).
@EdwardTurJ Правда,вы потеряли решение при $%k = 3$% : $%19^2 - 19 + 1 = 7^3$%