|
Аксиома: Через любые две точки проходит одна и только одна прямая. Доказательство: Пусть даны две прямые a и b. Предположим, что они имеют более одной общей точки - точки M и N. Тогда через две точки M и N проходила бы не одна, а две прямые - прямые a и b. Но это противоречит аксиоме. Конец доказательства. Что мне не нравится в доказательстве: Хорошо, мы доказали, что две разные прямые не могут иметь две общие точки. Но для меня ситуация выглядит так, что мы доказали только этот частный случай. А если мы возьмем три общие точки или больше? Не похоже, чтобы аксиома запрещяла, чтобы две разные прямые имели три общие точки. Умом-то я понимаю, что если две прямые имеют более одной общей точки, то они являются одной и той же прямой. Но вот строго доказать, увы, не могу. И мне кажется, что для этого хватит все той же аксиомы. А вся моя проблема проистекает из-за неверного понимания самой аксиомы, которая скорее всего запрещяет и случаи с большим количеством общих точек. задан 22 Май '13 20:13 
I_Robot
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Здесь, я так понимаю, сформулирована аксиома, но опущена формулировка доказываемого на её основе утверждения. Оно, судя по всему состоит в том, что две различные прямые могут иметь не более одной общей точки. С доказательством всё в порядке, так как оно проводится методом "от противного", и исходит из предположения, что общих точек более одной. Тем самым, оно охватывает и случай, когда общих точек может быть 3, или 7, или бесконечно много. Просто если общих точек более одной, то мы сначала берём одну и обозначаем через $%M$%, а потом берём вторую, и обозначаем через $%N$%. При этом, возможно, есть и ещё какие-то общие точки, но они не рассматриваются в доказательстве. Они могут быть, их может не быть, но после фиксации двух точек и проведения через них прямой, получается противоречие с аксиомой, которое и является целью доказательства, проводимого по этой схеме. Двух различных общих точек уже достаточно, а есть ли другие -- это никак не помогает и не мешает. Сказанное является правдой? Является. Цель достигнута? Да, потому что утверждение доказано по всем правилам. А далее вступает в силу афоризм, что "в математике всегда надо говорить правду, но совершенно не обязательно говорить всю правду" :) отвечен 22 Май '13 20:30 
falcao Переформулировать аксиому в терминах множеств очень легко, но это не даст никакого преимущества, потому что получится менее удобный и привычный язык. Там вместо "прямая $%a$% проходит через точку $%P$%" надо будет писать $%P\in a$%, а больше никаких особых отличий нет. Если хотите, я могу изложить простой пример так называемой проективной плоскости из семи точек. Для этого примера будут выполнена часть аксиом евклидовой геометрии, и там теоретико-множественный язык лучше подходит. Пример с зеркалами для меня не проясняет вопрос. Там скорее наоборот: у меня есть три яблока, поэтому есть и два.
(22 Май '13 21:01)
falcao
Мы конечно можем рассматривать три зеркала как три отдельных зеркала. А для каждого отдельного зеркала справедлива аксиома. Но с другой стороны, вдруг эти наши зеркала начинают вести себя совершенно иначе, когда их больше одного? Вдруг они волшебные ? И если мы разобьем три зеркала, то у нас будет уже четыре разбитых зеркала. "у меня есть три яблока, поэтому есть и два." И именно основываясь на подобной логике работает доказательство теоремы об том, что две прямые не могут иметь более двух общих точек. Есть такая штука как "эффект синергии". Вдруг и в случае с зеркалами подобная история?
(22 Май '13 21:05)
I_Robot
Да, доказательство работает именно на такой логике: если у меня есть три яблока, то я могу предъявить из них два, и указать на то, что это противоречит каким-то положениям. Наличие третьего яблока мне не мешает предъявить именно два, а этого предъявления достаточно. Формальная логика применяется к ситуациям "статичным", где никаких изменений в принципе произойти не может.
(22 Май '13 21:13)
falcao
Никакого "эффекта синергии" в ситуациях, которые возникают в математике, быть не может. Любая истина справедлива лишь в определённой "статичной" ситуации. Если ситуация изменилась, то выводы, относящиеся к ситуации прежней, уже не работают. Такой пример: в условии задачи говорится, что задумано число от 1 до 100 и написано на бумажке. Математик далее может сделать из этого какие-то выводы. Если допустить, что "злоумышленник" изменил число, дописав к нему что-то, то выводы математика могут быть уже неверны, но он за это не несёт ответственности.
(22 Май '13 21:18)
falcao
Я имею в виду ситуации, где ничего не меняется. Прямые пересекались в одной точке вчера, то же делают и сегодня, и будут делать завтра. Это всё как бы в "вечности" происходит. Если у треугольника угол был прямой, то он не мог "затупеть" от того, что мы об этом треугольнике долго думаем :)
(22 Май '13 21:30)
falcao
Я имел в виду несколько другую ситуацию. А именно, есть некий предмет, который может себя вести себя совершенно по разному, если этого предмета разное количество. Так например, гиена-одиночка обычно очень труслива. Но вот когда гиены собираются в стаю, то они начинают проявлять наглость. Однако, если исходить из Вашей логики, то получается, что стаи гиен не надо бояться, ибо стая состоит из отдельных гиен, а одна гиена очень труслива. Но такая логика ошибочна в случае с гиенами!
(22 Май '13 21:39)
I_Robot
Ну, точки же не гиены! Если у нас есть стая гиен, то есть и одна гиена. Разве что новые гиены съедят старую. С них станется :) Но точки - не гиены, друг друга не едят. (Впрочем, может и у гиен это не принято)
(22 Май '13 22:33)
DocentI
Да, вот еще. Есть свойства элементов, а есть свойства множеств (например, стаи). Я люблю такойпример: "множество людей, которые могут перенести рояль". Ясно, что, удалив одного человека мы можем это свойство нарушить. Именно потому, что это свойство всего множества, а не отдельного человека.
(22 Май '13 22:35)
DocentI
"Конечно, есть такие теоремы, в которых количество точек важно. " Вот и я об том же! Да, это не мой случай. Ну а если бы у меня была гораздо более сложная теорема, и я приступая к ней не знаю, важно ли количество точек(или других объектов) или нет? Что тогда делать? "Есть свойства элементов, а есть свойства множеств" Но ведь может быть и такая ситуация, когда некое свойство проявляется далеко не при каждом множестве. Так например, если в городе всего два человека болеют гриппом, то это не эпидемия. Но если гриппом болеет 500 000 человек, то это уже самая настоящая эпидемия.
(22 Май '13 22:48)
I_Robot
Вопрос слишком общий. В каждом случае по-своему.
(22 Май '13 23:21)
DocentI
показано 5 из 10
показать еще 5
|
Аксиомы не доказываются... они принимаются на веру как основа последующих построений...
На веру принимаются религиозные догматы, а аксиомы это самоочевидная истина. И именно из-за своей самоочевидности они не требуют доказательств.
Пардон... не заметил, что теорему Вы сформулировали в названии топика...
Наверное мне надо иначе сформулировать свое затруденине. Предположим, у нас есть аксиома "Если разбить одно зеркало, то у нас будет одно разбитое зеркало". Можно ли с помощью этой аксиомы доказать, что если мы разобьем три зеркала, то у нас будет три разбитых зеркала?
Falcao, а Вы можете переформулировать аксиому так, чтобы использовалась теория множеств?
" Формальная логика применяется к ситуациям "статичным", где никаких изменений в принципе произойти не может." Не могли бы Вы подробней описать, что Вы понимаете под "статичными ситуациями"?
@I_Robot: приходится продолжать здесь. По поводу "гиен", множеств и свойств: понятно, что большое число объектов может обладать каким-то новым свойством, которым не обладало малое число. Но это ничему не мешает. Например, прямая бесконечна. Это не мешает тому, что на ней можно указать две или три различные точки. Проследите всё рассуждение "пошагово", и убедитесь в том, что всё верно. Если что-то из сказанного вызывает сомнение, это можно обсудить. Здесь важно то, что наличие трёх общих точек не мешает наличию двух общих точек из этих трёх, то есть речь идёт о тавтологии. Вся логика такова.