Двое играют до победы, причем первому для этого необходимо выиграть n партий, а второму m партий. Вероятность победы в каждой партии для первого игрока равна p, а для второго q=1-p. Определить вероятность выигрыша всей игры первым игроком.

задан 28 Май '19 17:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим искомую вероятность через $%f(n,m)$%. Если $%n=0$%, то $%f(n,m)=0$% при $%m\ge1$%. Если $%m=0$%, то $%f(n,m)=1$% при $%n\ge1$%. При $%m,n\ge1$% имеем рекуррентную формулу $%f(n,m)=pf(n-1,m)+qf(n,m-1)$%.

Рассматривая некоторые начальные значения параметров, можно прийти к предположению, что $%f(n,m)=(C_{m-1}^0+C_m^1p+C_{m+1}^2p^2+\cdots+C_{m+n-2}^{n-1}p^{n-1})q^m$%. Далее доказываем это равенство по индукции, используя рекуррентную формулу и правила построение треугольника Паскаля.

ссылка

отвечен 28 Май '19 20:49

@falcao, скажите, пожалуйста, зачем индукция? Почему нельзя просто привести простые рассуждения, что первый игрок, очевидно выигрывает последнюю партию в игре. Тогда для некоторого k меняющегося от 0 до m - 1, второй игрок мог выйграть k партий за игру, кроме последней, в любом порядке. Второй момент который не понял в вашем решении, откуда данная реккурентная формула и что она показывает? Ведь второй игрок не может выиграть, если мы рассматриваем победу первого.

(29 Май '19 9:13) Evgeny Kondr...

@Evgeny Kondr...: рекуррентная формула по смыслу очевидна. Это следствие формулы полной вероятности. Я либо побеждаю в первой партии с вероятностью p, и далее получается игра, где мне осталось выиграть n-1 игру, а второму m. Либо проигрываю, и тогда параметры меняются на n, m-1. Здесь сам вид формулы таков, что можно догадаться до "происхождения".

То, что значения тех же сумм можно получить сразу, я охотно допускаю. Так, наверное, будет попроще.

(29 Май '19 9:41) falcao

@falcao, но второй то не может выиграть m! Все таки, если и есть реккурентная формула, то она должна быть формула только от одного параметра n, на мой взгляд. Так как k от 0 до m - 1 уже фиксировано.

(29 Май '19 10:53) Evgeny Kondr...

@Evgeny Kondr...: в игре может выиграть как тот, так и другой. То, что в ответе мы пишем вероятность победы первого, не означает же, что она равна 1? И, конечно, она зависит от m. Чем больше m, тем больше шансов у первого игрока.

(29 Май '19 12:23) falcao

@falcao, может там должно быть $%q^{m-1}$%?...

(29 Май '19 15:19) all_exist

Хотя видимо Вы написали вероятность выигрыша второго игрока, а не первого, как просят в условии...

(29 Май '19 15:21) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,923
×852

задан
28 Май '19 17:39

показан
163 раза

обновлен
29 Май '19 15:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru