Комбинаторная алгебра: показать, что $%a^{ \alpha } b^{ \beta } = b^{ \beta } a^{ \alpha } $%

Прежде всего хочу заметить, что здесь я описал чуть более общий механизм доказательства, из которого всё следует. А именно, если $%ab=ba$%, то любое произведение букв вида $%a^{\pm1}$%, $%b^{\pm1}$% будет перестановочно с любым произведением такого же вида. Здесь рассматривается частный случай перестановочности $%a^{\alpha}$% и $%b^{\beta}$%. (Понятно, что $%a^{4}=aaaa$%, $%a^{-3}=a^{-1}a^{-1}a^{-1}$% и т.п.) Но имеет смысл рассмотреть ещё одно независимое доказательство, основанное на свойствах сопряжённых элементов (то есть на основе указания).

Прежде всего, введём такой термин. Если $%G$% -- произвольная группа, а $%x$% и $%t$% -- произвольные её элементы, то элемент $%t^{-1}xt$% назовём сопряжённым элементом (для $%x$%) при помощи $%t$%. Рассмотрим простейшие свойства сопряжения.

1) Если сопрячь элемент $%x$% при помощи $%t$%, а затем взять обратный, то получится то же самое, как если бы мы сопрягли $%x^{-1}$% при помощи $%t$%. Это следует из такого равенства: $$(t^{-1}xt)^{-1}=t^{-1}x^{-1}(t^{-1})^{-1}=t^{-1}x^{-1}t.$$ При этом мы воспользовались тем фактом, что элемент, обратный произведению, равен произведению обратных элементов, взятых в обратном порядке.

2) Если сопрячь при помощи $%t$% произведение $%xy$%, то получится произведение элементов $%x$% и $%y$%, сопряжённых при помощи $%t$%: $$t^{-1}xyt=t^{-1}xtt^{-1}y=(t^{-1}xt)(t^{-1}y).$$ Здесь в середину вписали два взаимно обратных элемента, которые сокращаются друг с другом, поэтому в группе имеет место равенство.

3) Свойство из пункта 2 обобщается на случай любого числа сомножителей: $$t^{-1}(x_1x_2\ldots x_n)t=(t^{-1}x_1t)(t^{-1}x_2t)\ldots(t^{-1}x_nt).$$ Здесь все внутренние вхождения вида $%tt^{-1}$% сокращаются, как и выше.

Частным случаем данного утверждения будет случай $%x_1=x_2=\cdots=x_n=x$% -- когда все элементы $%x_i$% равны одному и тому же $%x$%. Тогда мы получим, что $%t^{-1}x^nt=(t^{-1}xt)^n$% для любого целого положительного $%n$%. При $%n=0$% равенство также верно (обе части равны единичному элементу), а для целых отрицательных показателей надо заменить $%x$% на $%x^{-1}$%. Это можно сделать, так как равенство верно для любого элемента группы, в том числе и для $%x^{-1}$%. В итоге получается, что равенство $$t^{-1}x^nt=(t^{-1}xt)^n$$ верно для любых целых значений $%n$%.

Теперь воспользуемся доказанными свойствами для завершения доказательства. Я заменю показатели степени на $%m$% и $%n$%. Прежде всего, из равенства $%ab=ba$% следует, что $%b=a^{-1}ba$% (обе части домножаются слева на $%a^{-1}$%). Теперь возведём обе части равенства в $%n$%-ю степень, что с учётом доказанного выше даёт $%b^n=(a^{-1}ba)^n=a^{-1}b^na$%. Равенство $%b^n=a^{-1}b^na$% преобразуем так: сначала домножим справа на $%a^{-1}$%, получая $%b^na^{-1}=a^{-1}b^n$%, а затем домножим на $%b^{-n}$% слева, что даёт $%a^{-1}=b^{-n}a^{-1}b^n$%. На словесном уровне, это означает, что элемент $%a^{-1}$% равен своему сопряжённому при помощи элемента $%b^n$%, который далее следует рассматривать как единое целое (типа элемента $%t$%). Полученное равенство надо теперь возвести в степень с показателем $%-m$%. Это даёт $%a^m=(a^{-1})^{-m}=(b^{-n}a^{-1}b^n)^{-m}=b^{-n}(a^{-1})^{-m}b^n=b^{-n}a^{m}b^n$%. Мы доказали, что $%a^m=b^{-n}a^{m}b^n$%, и теперь остаётся произвести домножение слева на $%b^n$%, откуда будет следовать, что $%b^na^m=a^mb^n$%, что и требовалось доказать (левую и правую часть равенства можно поменять местами).