Комбинаторная алгебра: абелева группа

Группа называется абелевой, если любые два её элемента перестановочны. В данном случае речь идёт о группе, порождённой элементами $%a,b,c$%. Это означает, что всякий элемент группы представляется в виде произведения элементов $%a,b,c$% и им обратных. Например: $%a^{-1}ccb^{-1}aca$%.

Из того, что $%ab=ba$%, следует, что $%ba^{-1}=a^{-1}b$%. Второе равенство получается из первого домножением обеих частей слева и справа на $%a^{-1}$%. Словесно можно сформулировать такой вывод: если один элемент группы перестановочен с другим, то его обратный так же перестановочен с ним. Из этого принципа также следует, что $%a$% перестановочен с $%b^{-1}$%, а потому и $%a^{-1}$% перестановочен с $%b^{-1}$%. Иными словами, если $%ab=ba$%, то $%a^{\pm1}b^{\pm1}=b^{\pm1}a^{\pm1}$% при любой расстановке плюсов и минусов (показатели у одинаковых букв берутся при этом одинаковыми). Аналогичные факты справедливы относительно $%ac=ca$% и $%bc=cb$%. Тем самым доказано, что каждый из элементов вида $%a^{\pm1}$%, $%b^{\pm1}$%, $%c^{\pm1}$% перестановочен с каждым из элементов вида $%a^{\pm1}$%, $%b^{\pm1}$%, $%c^{\pm1}$% (то, что $%a$% перестановочен сам с собой, а также со своим обратным -- очевидно).

Теперь осталось использовать тот факт, что если каждая из букв $%x_1,...,x_m$% перестановочна с каждой из букв $%y_1,...,y_n$%, то в группе выполнено равенство $%x_1\ldots x_m\cdot y_1\ldots y_n=y_1\ldots y_n\cdot x_1\ldots x_m$%. Это можно доказать методом математической индукции, но проще всего увидеть непосредственно. А именно, на уровне перестановок. Сначала у нас есть произведение $%x_1\ldots x_m\cdot y_1\ldots y_n$%. Мы букву $%y_1$% последовательно переставляем с $%x_m$%, ..., $%x_1$%, ставя её в начало. При этом получается произведение $%y_1x_1\ldots x_m\cdot y_2\ldots y_n$%, равное исходному (то есть представляющему тот же элемент группы). После этого элемент $%y_2$% последовательно переставляем с $%x_m$%, ..., $%x_1$%, и он встаёт вслед за $%y_1$%. Продолжая, мы в конце проделаем описанные действия с элементом $%y_n$% и получим произведение $%y_1\ldots y_n\cdot x_1\ldots x_m$%.

В предыдущем абзаце описана основная суть того "абстрактного" свойства, о котором идёт речь.

Завершение доказательства теперь понятно. Берём произвольные элементы группы -- скажем, $%g$% и $%h$%. Представляем каждый из них в виде произведения элементов вида $%a^{\pm1}$%, $%b^{\pm1}$%, $%c^{\pm1}$%. Получаем произведения вида $%g=x_1...x_m$%, $%h=y_1...y_n$%, где каждый из сомножителей $%x_i$%, $%y_j$% принимает одно из значений $%a^{\pm1}$%, $%b^{\pm1}$%, $%c^{\pm1}$%. Как выше было установлено, каждый из сомножителей первого произведения перестановочен с каждым сомножителем второго произведения. Поэтому $$gh=x_1...x_m\cdot y_1...y_n =y_1...y_n\cdot x_1...x_m=hg,$$ что и требовалось доказать.