1
1

Вычислить $%\mathbb{E} sin {(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)}$%, если известно, что $%X_1, \cdots, X_n$% – независимы и экспоненциально распределены с параметром 1.

Как я понимаю, характеристическая функция будет равна произведению характеристических функций. И мы получим характеристическую функцию гамма-распределения с параметром n. А матожидание – это просто интеграл

$$ \int_0^{+\infty} {\sin{x} \, \frac {x^{n-1} e^{-x}} {(n-1)!} \, dx} $$

Но как его сосчитать? Выражение синуса через экспоненту с комплексными числами ни к чему адекватному не привели. Либо я просто не вижу чего-то. Помогите, пожалуйста)

задан 1 Июн '19 23:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Изменённый вариант.

При суммировании независимых экспонециально распределённых с.в. из условия, получается гамма-распределение с параметрами $%n$%, $%1$%. Плотность равна $%\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}$% при $%x\ge0$%.

Матожидание равно интегралу от синуса, умноженного на плотность: $%I_n=\int\limits_0^{\infty}\sin x\,\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}\,dx$%. Введём также интегралы $%J_n=\int\limits_0^{\infty}\cos x\,\frac{x^{n-1}e^{-x}}{(n-1)!}\,dx$%. Заметим, что первообразная для $%e^{-x}\sin x$% равна $%-\frac{\sin x+\cos x}2e^{-x}$%, а для $%e^{-x}\cos x$% она равна $%\frac{\sin x-\cos x}2e^{-x}$%. Отсюда $%I_1=J_1=\frac12$%, а при $%n\ge2$% интегрируем по частям. Легко видеть, что значение выражения $%\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\cdot\frac{\pm\cos x\pm\sin x}2e^{-x}$% в пределах от нуля до бесконечности равно нулю, откуда следуют рекуррентные формулы $%I_n=\frac12(I_{n-1}+J_{n-1})$% и $%J_n=\frac12(J_{n-1}-I_{n-1})$% при $%n\ge2$%.

Рассматривая начальные значения для обоих интегралов, находим закономерность, и затем доказываем её по индукции. Получается такой ответ: при $%n=4k-r$%, где $%r=0,1,2,3$% имеем $%I_{4k}=0$%, $%I_{4k-1}=\frac{(-1)^{k-1}}{{4^k}}$%, $%I_{4k-2}=I_{4k-3}=\frac{2(-1)^{k-1}}{{4^k}}$%; $%J_{4k}=J_{4k-1}=\frac{(-1)^k}{4^k}$%, $%J_{4k-2}=0$%, $%J_{4k-3}=\frac{2(-1)^{k-1}}{4^k}$%. Можно также отметить, что при увеличении номера интеграла на $%4$%, происходит домножение этого интеграла на $%-\frac14$%.

ссылка

отвечен 1 Июн '19 23:23

изменен 2 Июн '19 0:11

Почему? При суммировании мы перемножаем их характеристические функции, и получается гамма-распределение.

(1 Июн '19 23:27) МайклЧемпион...

@МайклЧемпион...: да, Вы правы. Это я перепутал. Мне почему-то казалось, что параметры суммируются, но это происходит не для суммы с.в., а для их минимума. Для суммы плотность будет такая, как Вы написали (только я не понял, зачем говорится про характеристические функции).

Такие интегралы тоже вычисляются по частям, хотя там всё выглядит чуть сложнее. Я сейчас переделаю и внесу изменения.

(1 Июн '19 23:39) falcao
1

@falcao спасибо большое. Я тоже получил рекуррентные формулы, но не знаю, почему не вывел более интересные выводы из этого. $%I_n$%, кстати, можно записать как $%2^{-n/2} sin {\frac {\pi n} {4}}$%. :)

(2 Июн '19 1:18) МайклЧемпион...

@МайклЧемпион...: да, ответ в таком виде выглядит естественно весьма -- особенно с учётом того, что в условии был синус.

(2 Июн '19 1:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×2,923
×1,262
×852

задан
1 Июн '19 23:11

показан
124 раза

обновлен
2 Июн '19 1:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru