Вычислите

$$tg(arcsin(-\frac{3}{5})+arccos(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$$

задан 23 Май '13 13:17

изменен 24 Май '13 15:33

Angry%20Bird's gravatar image


9125

а как еще можно вычислить ?

(23 Май '13 13:28) IvanLife
10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуемся формуламы и фактамы:

1) $%arcsina+arccosa=\frac{\pi}2$%

2) $%arccos(-a)=\pi-arccosa$%

3)$%arccos(-\frac{1}{\sqrt2})=\frac{3\pi}4$%

3)$%tg\alpha=\pm\sqrt{\frac{1}{cos^2\alpha}-1}$%

4)$%tg(arccos\frac{3}5)>0, tg(arccos\frac{3}5)=\sqrt{\frac{25}9-1}=\frac{4}3$%

Тогда $%tg(arcsin(-\frac{3}5)+arccos(-\frac{1}{\sqrt2}))=tg(\frac{\pi}2-arccos(-\frac{3}5)+\frac{3\pi}4)=tg(arccos\frac{3}5-\frac{\pi}2+ \frac{3\pi}4)=$%

$%=tg(arccos\frac{3}5+ \frac{\pi}4)=\large \frac{tg(arccos\frac{3}5)+tg(\frac{\pi}4)}{1-tg(arccos\frac{3}5)tg(\frac{\pi}4)}=\frac{1+\frac{4}{3}}{1-\frac{4}{3}}=-7$%

ссылка

отвечен 23 Май '13 17:15

изменен 23 Май '13 17:16

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\alpha=\arcsin(-3/5)$%. Это означает две вещи: $%\sin\alpha=-3/5$% и $%\alpha\in[-\pi/2,\pi/2]$% по определению того, что такое арксинус. С учётом того, что значение синуса отрицательно, мы заключаем, что $%\alpha\in[-\pi/2,0)$%, то есть угол находится в четвёртой четверти. Косинус такого угла положителен. Зная синус, мы знаем его квадрат, а также квадрат косинуса, который равен $%1-9/25=16/25$%. Значит, $%\cos\alpha=4/5$%. Отсюда находим тангенс угла: $%{\mathop{\rm tg\ }}\alpha=-3/4$%.

Теперь пусть $%\beta=\arccos(-1/\sqrt{2})$%. Пользуясь определением арккосинуса, заключаем отсюда две вещи: $%\cos\beta=-1/\sqrt{2}$% и $%\beta\in[0,\pi]$%. Синус при этом всегда неотрицателен (реально можно не обращать внимания на то, что мы взяли угол из второй четверти). Квадрат косинуса и синуса равен $%1/2$%. Значит, $%\sin\beta=1/\sqrt{2}$%. Следовательно, $%{\mathop{\rm tg\ }}\beta=-1$%.

Теперь осталось найти тангенс суммы углов по формуле: $${\mathop{\rm tg\ }}(\alpha+\beta)=\frac{{\mathop{\rm tg\ }}\alpha+{\mathop{\rm tg\ }}\beta}{1-{\mathop{\rm tg\ }}\alpha\cdot{\mathop{\rm tg\ }}\beta}=\frac{-3/4-1}{1-3/4}=-7.$$ Формула для суммы тангенсов здесь применима, так как все необходимые ограничения соблюдены.

ссылка

отвечен 23 Май '13 15:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$tg(arcsin(-3/5)+arccos(-sqrt(2)/2)$$

$$ пусть t=arcsin(-3/5) => sint=-3/5 => cost=4/5 =>tg t=-3/4$$

$$m=arccos(-sqrt(2)/2)$$ $$ cosm=-sqrt2/2$$ $$ => sin m=sqrt2/2$$ $$=>tgm=-1$$

$$tg(t+m)=(tgt+tgm)/(1-tgt*tgm)=(-3/4-1)/(1-3/4)=(-7/4)/(1/4)=-7$$

ссылка

отвечен 23 Май '13 13:27

изменен 23 Май '13 14:41

не факт, что синус будет отрицательным, если косинус отрицательным. арккосинус лежит от 0 до пи, поэтому там, где косинус отрицателен, то синус будет положителен.

(23 Май '13 13:32) MathTrbl

да исправил. отпечатка....

(23 Май '13 13:46) IvanLife

Второе слагаемое в скобке - табличное.

(23 Май '13 14:23) DocentI

да,это понятно.

(23 Май '13 14:40) IvanLife
10|600 символов нужно символов осталось
1

Раскройте тангенс по формуле тангенса суммы, далее используйте то, что $%\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x$% и нечётность арксинуса. Не забудьте про формулы приведения, чтобы избавиться от $%\pi$%, а также про нечётность тангенса. Далее используйте треугольника.

Для примера я вам приведу, как вычислить $%\mathrm{tg}\arcsin\frac{3}{5}$% из геометрических соображений.

alt text

Отсюда $%\mathrm{tg}\arcsin\frac{3}{5}=\frac{3}{4}$%.

ссылка

отвечен 23 Май '13 13:28

изменен 23 Май '13 13:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×766

задан
23 Май '13 13:17

показан
5708 раз

обновлен
23 Май '13 17:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru