$% -x^2y''-y'=2\lambda\sqrt x y$% . + произвольные краевые условия. Задание: привести к интегральному виду

задан 3 Июн 16:27

изменен 3 Июн 16:42

Что такое интегральный вид? Интегральное уравнение? Что значит произвольные краевые условия? Их вид существенно влияет на интегральное представление, так что насчёт произвольных -- это вряд-ли.

(3 Июн 17:34) caterpillar

@caterpillar Там не то,чтобы произвольные. А какие-то конкретные, но какие - не помню. Есть пример такой задачи. Там сначала рассматривают однородное. Делают замену z=y'. Решают. Получают z=z(x,C). С-константа интегрирования. Подставляют у. Получают уравнение y=(x,C1,C2). И на этом решение заканчивается. Возможно, там просто не довели до конца. Я вот не совсем понимаю, почему это называется интегральным видом.

После решения однородного надо применять обычный метод вариации постоянных. Только там ответ не проинтегрируется, что естественно, т.к. в правой части стоит неизвестная функция. Вот и получится ответ в интегральной форме. Но чтобы от констант избавляться, конкретные условия всё равно нужны.

(3 Июн 18:06) caterpillar

Хорошо, спасибо

@caterpillar, После решения однородного надо применять обычный метод вариации постоянных - я прошу прощения, но оно уже однородное линейное... какой метод вариации?...

Это уравнение из задачи Штурма-Лиувилля... краевых условий конечно не хватает... но они могут иметь весьма широкий диапазон вариантов...

Что касается решения уравнения в такой записи, то я сильно сомневаюсь, что оно в общем виде разрешимо...

Если бы перед $%y'$% стоял множитель $%x$%, то это было бы вариацией не тему уравнения Бесселя....

(3 Июн 21:50) all_exist

@all_exist, данное уравнение не разрешимо, поэтому мы сводим его к интегральному уравнению, которое очень часто можно исследовать дальше, например, на предмет асимптотик. Можно считать, что правая часть исходного уравнения -- это "неоднородность", хоть там и стоит неизвестная функция, но применять метод вариации постоянных это не мешает (можно даже временно обозначить правую часть f(x)). Только интегралы надо брать с переменными верхними пределами и произвольными нижними. В результате приходим к эквивалентному интегральному уравнению, разумеется, после исключения всех неизвестных констант.

(4 Июн 4:54) caterpillar

@caterpillar, Можно считать, что правая часть исходного уравнения -- это "неоднородность" - ну, я знаю такой приём... но вроде его используют при линеаризации...

А здесь Вы предлагаете отбросить кусок линейного уравнения... да ещё тот, который содержит собственное значение... Или я чего-то подзабыл, или не понял Вас?... (((

(4 Июн 21:31) all_exist

@all_exist, его используют для приведения краевой задачи к интегральному уравнению. При этом ничего не отбрасывается, мы же не только "однородное" уравнение рассматриваем, а ещё и "неоднородное". А содержит правая часть что-то или не содержит -- это не так существенно, главное, на выходе получается интегральное уравнение, эквивалентное исходной дифференциальной задаче. Попробуйте, это реально работает))

(5 Июн 4:24) caterpillar
1

@all_exist, использование этого метода есть в книге Наймарка М.А., Линейные дифференциальные операторы. В дополнении 1 исследуются подобные задачи, хотя сами интегральные уравнения и не выводятся. Видимо, на уровне этой книги, это считается очевидными вещами.

(5 Июн 4:54) caterpillar

@caterpillar, использование этого метода есть в книге Наймарка М.А., - спасибо, посмотрю...

(5 Июн 8:41) all_exist
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×986

задан
3 Июн 16:27

показан
116 раз

обновлен
5 Июн 8:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru