Нужно доказать, что множество E(α) точек разрыва функции на [a,b] -замкнуто. E(α)={x:w(x)>=α,x из [a,b]}.(w(x)- колебание функции в точке x). Пусть x0 - предельная точка множества E(α), возьмем любую последовательность {xn}, которая сходится к x0, причем w(xn)>=α. Тогда ∀δ>0 ∃ точка xn, которая входит в интервал I(x0,δ). Тогда ∃ δ1: I(xn,δ1)⊂I(x0,δ), причем M(δ,x0)-m(δ,x0)>=M(δ1,xn)-m(δ1,xn)>=α>0.(M(δ,x0)- супремум; m(δ,x0) -инфинум). Тогда lim(δ->0) (M(δ,x0)-m(δ,x0))>=α>0 => x0 - предельная точка E(α).

1)"Возьмем любую последовательность {xn}, которая сходится к x0". Почему такая последовательность существует?

2)"Тогда ∀δ>0 ∃ точка xn, которая входит в интервал I(x0,δ)" -почему?

задан 4 Июн 13:52

изменен 10 Июн 16:48

  1. По определению предельной точки (или по её критерию).
  2. По определению предела
(4 Июн 15:13) caterpillar

А можете подсказать, где используется замкнутость этого множества при доказательстве критерия Лебега?

(4 Июн 15:44) bvets

И еще вопрос:$$E=\cup E(1/n)$$. И необходимость критерия Лебега(а именно предположение от противного о том, что меры Лебега не существует, либо она равна 0)доказывается при n=m, то есть для E(1/m). Почему так можно? Если хотя бы одно из E(1/n) не имеет меру Лебега равную 0, то E также не будет иметь?

(4 Июн 15:53) bvets

Замкнутость этого множества используется для того, чтобы сказать, что оно компактно. Вместе с нулевой мерой это даёт возможность покрыть это множество конечным объединением параллелепипедов сколь угодно малого объема. Второй вопрос сформулирован странно и непонятно. Мера каждого E(1/n) (догадываюсь, что это множество, на котором колебание функции превышает 1/n) нулевая (что вытекает из интегрируемости и кое-какого нетривиального доказательства), тем самым, мера их объединения -- тоже.

(4 Июн 16:11) caterpillar

Но для того чтобы это множество было компактом, оно должно быть ограниченным. А разве оно может быть ограниченным, если множество точек разрыва, например, счетно? И в определении меры нуль по Лебегу нигде не говорится, что это множество должно быть замкнутым.

(4 Июн 18:41) bvets

Оно ограничено потому, что лежит внутри параллелепипеда. Счётность тут вообще ни при чём. Отрезок вон вообще содержит континуум точек, а ограничен. Замкнутость множества точек, на которых колебание функции отлично от нуля доказывается в Вашем стартовом сообщении, не?

(4 Июн 18:49) caterpillar

Да, но мне не понятно, для чего это доказывается. Почему для покрытия множества Е интервалами суммарной длины меньшей эпсилон,множество Е обязано быть компактом?

(4 Июн 23:44) bvets

Потому что нужно не просто покрытие, а конечное покрытие, чтобы потом использовать его, как часть разбиения исходного параллелепипеда.

(5 Июн 4:17) caterpillar

@caterpillar, а можете объяснить еще два момента:

1)"причем w(xn)>=α" - Откуда это следует?

2)M(δ1,xn)-m(δ1,xn)>=α>0 Почему их разность больше α?

(10 Июн 16:40) bvets
  1. Из того, что xn берутся из множества E

  2. Эта разность -- это колебание функции на дельта1-окрестности точки xn, что превышает инфимум всех таких колебаний, который, в свою очередь, превышает альфа.

(10 Июн 17:02) caterpillar
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,251

задан
4 Июн 13:52

показан
119 раз

обновлен
10 Июн 17:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru