$%a,b,c$% - положительные числа , и $%abc=1$%. Докажите, что: $$\frac{1}{2a^2+b^2+3} + \frac{1}{2b^2+c^2+3} + \frac{1}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{1}{2}$$

задан 5 Июн 17:00

10|600 символов нужно символов осталось
5

$%a^2= x^3\ , \ b^2=y^3\ , \ c^2=z^3$%

Тогда неравенство можно переписать в виде : $$\dfrac{xyz}{2x^3+y^3+3xyz}+\dfrac{xyz}{2y^3+z^3+3xyz}+\dfrac{xyz}{2z^3+x^3+3xyz} \le \dfrac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow 18x^3y^3z^3+ 9x^2y^2z^2(x^3+y^3+z^3)\le 7xyz(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)+2xyz(x^6+y^6+z^6)+$$

$$+4(x^3z^6+y^3x^6+z^3y^6)+2(x^3y^6+y^3z^6+z^3x^6)$$

$$x^7yz+x^4y^4z+x^4yz^4 \ge 3x^5y^2z^2 \Rightarrow$$

$$2xyz(x^6+y^6+z^6)+4 xyz(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)\ge 6x^2y^2z^2(x^3+y^3+z^3)$$

$$ 2x^6y^3+x^3z^6\ge 3x^5y^2z^2 \Rightarrow$$

$$2(x^3y^6+y^3z^6+z^3x^6)+(x^3z^6+y^3x^6+z^3y^6) \ge 3x^2y^2z^2(x^3+y^3+z^3)$$

$$3xyz(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)+3(x^3z^6+y^3x^6+z^3y^6) \ge 18x^3y^3z^3$$

ссылка

отвечен 8 Июн 12:55

10|600 символов нужно символов осталось
4

$$2a^2+b^2+3 = (a^2+b^2) + (a^2+1) + 2 \geq 2|ab| + 2|a| + 2$$ Поэтому $$\frac{1}{2a^2+b^2+3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{|ab|+|a|+1}$$ $$\frac{1}{2b^2+c^2+3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{|bc|+|b|+1}$$ $$\frac{1}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{1}{2} \frac{1}{|ac|+|c|+1}$$ Поскольку $%|a|(|bc|+|b|+1) = |ab|+|a|+1$% и $%|ab|(|ac|+|c|+1) = |a|+|ab| + 1$%: $$\frac{1}{2a^2+b^2+3}+\frac{1}{2b^2+c^2+3}+\frac{1}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{|a|+|ab| + 1}{2(|a|+|ab| + 1)} = \frac{1}{2}.$$ Равенство при $%(a,b,c) = {(1,1,1) ; (1,-1,-1);(-1,1-1);(-1,-1,1)}$%

Не заметил ,что доказать нужно только для положительных

ссылка

отвечен 8 Сен 9:16

изменен 8 Сен 11:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×424
×201

задан
5 Июн 17:00

показан
140 раз

обновлен
8 Сен 11:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru