геометрия - Правильная треугольная призма

Пусть точки $%N,K,M$% середины ребер $%AB,A_1C_1,BB_1.$%

Построение:

$%1) MN\cap AA_1=P, 2)MN\cap B_1A_1=Q,3) PK\cap AC=E, 4)QK\cap B_1C_1=F $%

Пятиугольник $%MNEKF$% искомое сечение.

Обозначим $%AB=a, BB_1=b,\angle NEA=\alpha$%

$%\Delta APN=\Delta BMN=\Delta B_1MQ \Rightarrow AP=MB=\frac{b}2,A_1P=\frac{3b}2,QB_1=\frac{a}2 $%

$%\Delta APE\sim \Delta A_1PK \Rightarrow AE=\frac{1}3A_1K=\frac{a}6. $% Из треугольника $%ANE$%, по теореме косинусов и синусов $%NE=\sqrt{AN^2+AE^2-2AN\cdot AE cos 60^0}=\frac{a\sqrt7}6, sin\alpha=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}.$%

Пусть $%KH\perp AC,HT\perp NE.$% По теореме 3-х перпендикуляров $%KT\perp NE.$%

Угол наклона сечения будет $%\angle KTH.$%

$% EH=AH-AE=A_1K-AE=\frac{a}2-\frac{a}6=\frac{a}3, TH=BB_1=b.$%

Из треугольника $%THE , HT=EH sin\alpha=\frac{a}3\cdot \frac{3\sqrt3}{2\sqrt7}= \frac{a\sqrt3}{2\sqrt7},$% а из треугольника $%KHT, KT=\sqrt{KH^2+HT^2}=\sqrt{b^2+\frac{3a^2}{28}}=\sqrt{\frac{28b^2+3a^2}{28}},cos\angle KTH=\frac{TH}{KT}=$%

$%=\frac{a\sqrt3}{\sqrt{28b^2+3a^2}}=\frac{\sqrt{6}}3\Rightarrow \angle KTH=arccos\sqrt{\frac{2}3}=arcsin\frac{1}3.$%

Наконец если проводить $%B_1D||QK,$% то по обобщенной теореме Фалеса легко доказать, что $%C_1F=\frac{3}{4}a.$% Проекция сечения на основание будет $%BLHEN.$%

$%S_{BLHEN}=S_{ABC}-S_{ANE}-S_{CHL}=\frac{a^2\sqrt3}4-\frac{1}2\cdot \frac{a}2\cdot\frac{a}6\cdot \frac{\sqrt3}2-\frac{1}2\cdot \frac{a}2\cdot\frac{3a}4 \cdot \frac{\sqrt3}2=$% $%=\frac{13\sqrt3a^2}{96}=\frac{13\sqrt3}{6}$%

$%S_{сеч.}=\frac{S_{пр.}}{cos\angle KTH}=\frac{13\sqrt3}{6}\cdot \frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{13\sqrt 2}{4}$%

Ответ. $%\frac{13\sqrt 2}{4}, arcsin\frac{1}3$%