Здравствуйте!

Здесь приведены некоторые задачи из недавних вступительных экзаменов в ШАД, продвинуться в решении которых мне совсем не удалось.

  1. Верно ли, что почти все (кроме конечного числа) натуральные числа представимы в виде $%n + \tau(n)$%, где $% \tau(n)$% - количество делителей натурального числа $%n$%.
  2. Вещественнозначная функция $%f$% определена на отрезке $%[a,b]$% ($% b-a \geq 4$%) и дифференцируема на нём. Доказать, что найдётся точка $%x_0 \in (a,b)$% такая, что $$f^{'}(x_0) < 1 + f^2(x_0)$$
  3. Пусть $%M$% - пространство непрерывных убывающих функций на отрезке $%[0,1]$%, для которых $%f(1)=0$%. Найти $$ \displaystyle \inf\limits_{f \in M}\sup\limits_{x \in [0,1]}\dfrac{xf(x)}{\int_{0}^{1}f(t)dt}$$

Заранее спасибо за ответы!

задан 9 Июн 15:46

В третьей, судя по всему, ответ 0. Можно рассмотреть такую функцию: f(x)=1/x на [eps,1-eps], f(1)=0 и линейную на оставшихся частях. Причём доопределить так, чтобы была монотонность, непрерывность и всюду выполнялось 0<=xf(x)<=1 (в нуле определить f(x) так, чтобы линия была пологой, пусть, например, f(0)=1/eps+0.1). Тогда интеграл от такой функции будет стремиться к бесконечности, а супремум дроби -- к нулю.

(9 Июн 16:59) caterpillar

Да, действительно, отличный пример! Спасибо!

(9 Июн 18:37) Ageron

Что-то мне кажется, что первая задача собственно не по теории чисел, а про биективные отображения.

(11 Июн 0:42) knop

@knop: Вы имеете в виду использование самых общих свойств "добавки" в виде $%\tau(n)$%, без учёта её специфики?

Интересно, что в oeis это дело есть, но там совершенно ничего не сказано насчёт конечности/бесконечности дополнения.

(11 Июн 0:58) falcao

@falcao, да именно так. Мне кажется, достаточно понимать, что она всегда не меньше 2, почти всегда не больше n/2, но бывает не меньше любого наперёд заданного числа. В итоге должно получаться противоречие с тем, что начиная с некоторого N каждое число представимо в нужном виде...

(11 Июн 1:45) knop
(11 Июн 1:53) knop

@knop: да, оно самое. На удивление мало информации -- обычно бывает больше.

(11 Июн 8:49) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Про первый ничего не скажу... не силён ...

Вторая простая. Предположим противное, то есть для всех икс выполнено неравенство $$ f'(x) \ge 1+f^2(x) $$ делим на правую часть и интегрируем... $$ \int_{a}^{b}\frac{f'(x)\;dx}{1+f^2(x)} \ge \int_{a}^{b}1\;dx $$ $$ \text{arctg}\,f(b)-\text{arctg}\,f(a) \ge b-a \ge 4 $$ Противоречие...

Про третью надо подумать...

ссылка

отвечен 9 Июн 16:42

И правда, стоит углядеть производную арктангенса в условии, как вторая задача становится простой. Спасибо!

(9 Июн 18:41) Ageron
10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. рассмотрим последовательности $%a_n=n+\tau(n)$%

$$\boxed 2\rightarrow 4 \rightarrow 7 \rightarrow 9 \rightarrow 12\rightarrow 18 \rightarrow... $$

$$\boxed 3 \rightarrow 5 \rightarrow (7)\ \ $$

$$\boxed 6\rightarrow 10 \rightarrow 14 \rightarrow (18)$$ $$. \ . \ . $$

Каждый раз, мы будем начинать новую последовательность с минимального числа (истока), которое еще не встречалось в предыдущих последовательностях . В процессе этого новые последовательности могут вливаться в предыдущие последовательности.

Если начиная с некоторого числа $%A$%, все последующие числа будут появляться среди элементов этих последовательностей (истоков больше не будет), то начиная с некогорого числа $%B\ge A$% вливания последовательностей друг в друга прекратятся и каждое число с этого момонта будет принадлежать одной из последовательностей. Пусть этих последовательностей оказалось $%m$% штук $%(a_1, ..., a_m)$%.

Докажем , что очевидно, этого не может быть.

Пусть $%b_k=2^{2^{.^{.^{.^2}}}}$% - башня из $%k>2m$% двоек.

если $%b_k \in a_1$% , тогда в $%(b_k\ ,\ b_k+b_{k-1})$% нет элементов $%a_1$%.

если $%b_k+b_{k-2} \in a_2$% , тогда в $%(b_k+b_{k-2}\ , \ b_k+b_{k-2}+b_{k-3})$% нет элементов $%a_2$%.

если $%b_k+b_{k-2}+b_{k-4} \in a_3$% , тогда в $%(b_k+b_{k-2}+b_{k-4}\ , \ b_k+b_{k-2}+b_{k-4}+b_{k-5})$% нет элементов $%a_3$%. $$.\ .\ .$$ В результате получим последовательность из $%m$% вложенных интервалов внутренность которых не принадлежит ни одной из последовательностей $%a$%.

ссылка

отвечен 12 Июн 13:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,206
×771

задан
9 Июн 15:46

показан
126 раз

обновлен
12 Июн 13:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru