Построить сечение параллелепипеда $%ABCDA_1B_1C_1D_1$% плоскостью, проходящей через середину $%M$% ребра $%AB$% и центры $%N$% и $%P$% граней $%BB_1C_1C$% и $%CC_1D_1D$%. Определить в каком отношении эта плоскость делит отрезок $%A_1C$%. Я построила сечение, вот только не могу разобраться, как найти отношение отрезков. Нужно как-то использовать теорему Менелая. Подскажите, пожалуйста, какие треугольники рассмотреть.

задан 24 Май '13 23:12

изменен 25 Май '13 1:39

falcao's gravatar image


191k1632

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

Искомое сечение $%HGLKM. (A_1C) \cap (HGK)=(A_1C)\cap (NK)=R $%. $%\Delta AHG=\Delta BIG, \Delta BLF=\Delta C_1KF\Rightarrow IB=AH=\frac{BC}2, LB=KC_1$%

$% \Delta ILB\sim \Delta IKC\Rightarrow \frac{KC}{LB}=3, KC=3/4AA_1, \Delta ANO \sim \Delta CNK \Rightarrow \frac{AO}{KC}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}3,$%

$% AO=1/3KC=1/4 AA_1, A_1O=5/4 AA_1. $%

$%\Delta A_1RO\sim \Delta CRK \Rightarrow A_1R:RC=A_1O:KC .$%

Искомое отношение $%A_1R:RC=A_1O:KC=5:3$%

ссылка

отвечен 25 Май '13 11:28

изменен 25 Май '13 13:54

Здесь есть нечеткость в рисунке : прямые $%HG$% и $%AA_1$% не пересекаются,но там появилась жирная точка пересечения, и не могу исправить,исходный рисунок не сохранила.

(25 Май '13 11:36) ASailyan

Я думаю, тут по чертежу все детали легко восстановимы. Хорошо, что не надо строить точку пересечения прямой и плоскости, а достаточно знать отношения длин вдоль двух параллельных прямых.

(25 Май '13 12:10) falcao

@ASailyan, как я понимаю, вы брали соотношения сторон из треугольников, используя теорему Менелая. Подскажите, пожалуйста, какие треугольники Вы рассматривали. Заранее спасибо!

(25 Май '13 13:18) Uchenitsa

Не использовала теорему Менелая. В решении добавила подробности. Перечитайте.

(25 Май '13 13:35) ASailyan

Благодарю!

(25 Май '13 15:05) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я решал координатным методом -- получилось довольно просто.

Начало координат выберем в точке $%A$%, и три координатных оси будут такие: $%AB$%, $%AD$%, $%AA_1$%. Удобно выбрать по каждой оси такой масштаб, при котором координаты точек $%B$%, $%D$%, $%A_1$% по своим осям будут считаться равными двум. (Это аффинная система координат, и отношение длин параллельных отрезков в ней будет такое же, как и в обычной системе. Можно было бы обойтись без этого, выбирая масштаб как он есть, но это ведёт к тому же результату -- только вычисления слегка усложняются.)

Вычислим координаты точек: $%M(1,0,0)$%, $%N(2,1,1)$%, $%P(1,2,1)$%. Уравнение плоскости $%MNP$% имеет вид $%ax+by+cz=d$% с неопределёнными коэффициентами. Подставляя координаты точек, приходим к уравнению $%x+y-2z=1$% (легко подставить и увидеть, что всё подходит).

Пусть теперь $%O$% -- пересечения отрезка $%A_1C$% с плоскостью. Если отношение, в котором точка $%O$% делит отрезок, равно $%t$%, это означает, что $%\vec{A_1O}=t\vec{OC}$%. Отсюда, ввиду $%A_1(0,0,2)$% и $%C(2,2,0)$%, имеем $%(x,y,z-2)=t(2-x,2-y,-z)$%, где $%(x,y,z)$% -- координаты точки $%O$%. Выражая $%x,y,z$% через $%t$% из уравнений $%x=t(2-x)$%, $%y=t(2-y)$%, $%z-2=-tz$% и подставляя найденные значения в уравнение плоскости, получаем $%t=5:3$%. Это ответ.

Решение чисто вычислительное и явно не лучшее, но зато ответ получается быстро.

ссылка

отвечен 25 Май '13 1:37

А параллелепипед прямоугольный?

(25 Май '13 4:58) ASailyan

@ASailyan: любой параллелепипед посредством аффинного преобразования приводится к прямоугольному, или даже к кубу. Отношения длин параллельных отрезков при этом не меняются. В этом смысле решение можно считать корректным (фактически, оно для случая куба и дано). Другое дело, что я действительно не заметил, что в условии речь идёт о произвольном параллелепипеде, поэтому спасибо за замечание. Приём, который я использовал, слегка выходит за рамки школьной программы, поэтому имеет смысл предложить другое решение. То, что я написал, можно ещё адаптировать за счёт использования векторов.

(25 Май '13 7:43) falcao

Вчера я легко нашла другое решение и ответы совподают.

(25 Май '13 10:04) ASailyan

@ASailyan: имеет смысл тогда, наверное, это решение здесь поместить, раз оно основано на других соображениях. Я когда решил задачу алгебраически, то дальше думать просто не стал, хотя было понятно, что можно найти решение, основанное на обычной геометрии.

(25 Май '13 10:23) falcao

Добавляю. Но нет времени все обьяснить.

(25 Май '13 11:03) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,370
×411
×19

задан
24 Май '13 23:12

показан
1628 раз

обновлен
25 Май '13 15:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru