2
1

Диагонали трапеции $%ABCD$% с основаниями $%AD=3$% и $%BC=1$% пересекаются в точке $%O$%. Две окружности, пересекающие основание $%BC$% в точках $%K$% и $%L$% соответственно, касаются друг друга в точке $%O$%, а прямой $%AD$% в точках $%A$% и $%D$% соответственно. Найдите $%AK^2+DL^2$%.

задан 24 Май '13 23:25

изменен 25 Май '13 7:52

falcao's gravatar image


191k1632

10|600 символов нужно символов осталось
3

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что $%\angle AKO = \angle OAD = \angle ACK$%, поэтому треугольники $%AKO$% и $%ACK$% подобны по двум углам (угол при вершине $%A$% --- общий), значит, $%\frac{AK}{AC}=\frac{AO}{AK}$%, откуда $%AK^{2}=AC\cdot AO$%. Аналогично, $%DL^{2}=BD\cdot DO$%.

Тругольник $%AOD$% подобен треугольнику $%COB$% с коэффициентом 3, поэтому $%AC=\frac{4}{3}AO$% и $%BD=\frac{4}{3}DO$%.

Пусть общая касательная к данным окружностям, проведённая через точку $%O$%, пересекает основание $%AD$% в точке $%M$%. Тогда $%AM=MO=MD$%, значит, $%\angle AOD = 90^{\circ}$%.

Треугольник $%AOD$% --- прямоугольный, следовательно, $$ AK^{2}+DL^{2}=AC\cdot AO+BD\cdot DO = \frac{4}{3}AO\cdot AO+\frac{4}{3}DO\cdot DO= \frac{4}{3}AO^{2}+\frac{4}{3}DO^{2}= $$ $$ =\frac{4}{3}(AO^{2}+DO^{2})=\frac{4}{3}AD^{2}= \frac{4}{3}\cdot 9 = 12. $$

ссылка

отвечен 25 Май '13 13:06

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%r_1$%, $%r_2$% -- радиусы окружностей с центрами $%O_1$%, $%O_2$%, точки касания которых равны $%A$%, $%D$% соответственно; $%O$% -- точка касания окружностей. Обозначим через $%h$% расстояние от $%O$% до прямой $%AD$%. Предположим, что $%r_1 < r_2$%. В прямоугольной трапеции $%AO_1O_2D$% проведём прямые, параллельные $%AD$%, через точки $%O_1$% и $%O$%. При этом возникают два подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами $%r_1$%, $%r_2$% и катетами $%h-r_1$%, $%r_2-h$%. Составляя пропорцию, получаем $%r_1:r_2=(h-r_1):(r_2-h)$%, откуда $%h=2r_1r_2/(r_1+r_2)$%. Случай $%r_1 > r_2$% полностью аналогичен, и при $%r_1=r_2$% это равенство тоже верно.

В той же прямоугольной трапеции, при $%r_1 < r_2$%, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный прямыми $%O_1O_2$%, $%O_2D$%, и прямой, параллельной $%AD$%, проведённой через $%O_1$%. Из теоремы Пифагора получается $%(r_1+r_2)^2-(r_2-r_1)^2=AD^2=9$%, откуда $%r_1r_2=9/4$%. Ясно, что это же равенство верно и при $%r_1 \ge r_2$%.

Прямая $%BC$% находится от прямой $%AD$% на расстоянии $%4h/3$%, что ясно из рассмотрения подобных треугольников $%AOD$% и $%COB$%, где $%BC:DA=1:3$%. Поэтому точка $%O_1$% находится от прямой $%BC$% на расстоянии $%|4h/3-r_1|$%. Пусть $%A_1$% -- точка пересечения (перпендикулярных) прямых $%AO_1$% и $%BC$%. Тогда по теореме Пифагора, применённой к треугольнику $%O_1KA_1$%, имеет место равенство $%KA_1^2=O_1K^2-O_1A_1^2=r_1^2-(4h/3-r_1)^2$%. Следовательно, из прямоугольного треугольника $%AKA_1$% имеем $%AK^2=KA_1^2+(4h/3)^2=r_1^2-(4h/3-r_1)^2+(4h/3)^2=8hr_1/3$%. Аналогично, $%DL^2=8hr_2/3$%. Складывая, имеем $$AK^2+DK^2=8h(r_1+r_2)/3=16r_1r_2/3=(16/3)\cdot(9/4)=12.$$

ссылка

отвечен 25 Май '13 3:03

изменен 25 Май '13 7:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×939

задан
24 Май '13 23:25

показан
1608 раз

обновлен
25 Май '13 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru