$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x-x}{x^3}$$

задан 10 Июн 18:20

4

Найти предел -- легко! Обозначьте его, например, $%a$%, потом сделайте замену $%x=3y$%, преобразуйте к сумме двух пределов, получится уравнение для нахождения $%a$%. И ответ -1/6. Это если мы верим в существование этого предела.

Извращенцу, который заставляет такое считать без Тейлора и Лопиталя -- привет!

(10 Июн 18:38) caterpillar
2

@caterpillar: вспомнил, что то же самое "извращение" уже попадалось здесь.

(10 Июн 20:05) falcao

@falcao, тогда это похоже какой-то маньяк) Тот же самый пример полтора года назад давал) Забавно, что я тут предложил тот же способ, что и Вы там.

(10 Июн 20:12) caterpillar
1

@abc, как-то надо доказывать, что синус равен своему ряду, при условии, что все члены до бесконечности не просчитаешь. Без производной и остаточного члена в форме Лагранжа. А можно проще: сразу определить синус через ряд. А потом ещё обосновать предельный переход под знаком суммы ряда.

А вообще, бессмысленно это всё, никакой ценности задача в таком виде не несёт, ни учебной, ни методической.

(11 Июн 5:55) caterpillar

@caterpillar: здесь, фактически, просят как-то "руками" вывести формулу $%\sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3)$% при $%x\to0$%. Сделать это в принципе можно, доказывая неравенство $%\sin x > x-\frac{x^3}6$% при помощи производной (для $%x > 0$%). Такой метод доступен школьникам, и сам набор используемых приёмов достаточно известен. Однако математически он ничем не отличается от стандартного подхода, поэтому я тоже считаю, что в методическом отношении это упражнение неудачное.

(11 Июн 8:55) falcao

@caterpillar есть пособие для школьников в котором проделывается сие доказательство без производной и Лагранжа. Да вы и сами можете это проделать если заморочитесь. Подход там проще и прямолинейнее "стандартного Тейлора" но это только для sin(x). Для остальных функций Тейлор будет :проще)

(11 Июн 14:36) abc

@abc: а можно ссылку для ознакомления?

(11 Июн 14:51) falcao

@abc, не интригуйте... )))

(11 Июн 15:21) all_exist
1

@abc: ну, если это пособие не с грифом "совершенно секретно", то, может, будет лучше, если все ознакомятся? :)

(11 Июн 18:06) falcao

@abc, есть ещё два стандартных: через неравенство Гёльдера и решение задачи оптимизации)

(11 Июн 19:22) caterpillar
2

@abc: я не вижу здесь олимпиадной задачи -- по-моему, речь идёт о каком-то техническом упражнении, где надо применить некий "трюк". Догадываться до того, как он мог бы выглядеть, у меня совершенно нет желания. Но, видя его, я мог бы оценить, в какой мере он является "эффектным". В этом смысле, увидеть рассуждение было бы интересно.

Разговор про неравенство Минковского был когда-то давно, и я уже забыл, что там говорилось.

(11 Июн 20:12) falcao

@falcao А в чем проблема? Хотите увидеть - читайте личку я ведь давно все отправил. @falcao, @caterpillar Насчет неравенства Минковского я сейчас освежу нам всем память, создав новый вопрос. Через неравенство Гельдера это я знаю, оно везде в интернете. А вот через Йенсена и по индукции было бы интересно посмотреть. Но я не верю что они существуют.

(11 Июн 21:41) abc

@abc: я никаких писем на свой адрес не получал.

(11 Июн 22:04) falcao

Я имею ввиду ваш ЖЖ, то что в профиле. Почты к сожалению вашей не знаю, если что могу продублировать не неё

(11 Июн 22:07) abc

@abc: мне оттуда не пришло извещений, потому что многие ЛС, содержащие ссылки, попадают в ящик "подозрительных сообщений". Поэтому я отдельно туда вошёл и посмотрел.

Книжка любопытная (я о ней не знал), и стиль, в котором она написана, весьма ценен. То есть такие вещи полезно читать школьникам. Однако сам путь вывода формул Тейлора этим способом очень сложен, и воспринимается как некий "изыск". Предлагать кому-либо самостоятельно переоткрыть этот путь я считаю вещью совершенно ненужной. Хотя чтение подобных книг -- дело однозначно полезное.

(12 Июн 2:43) falcao
3

Может таки поделитесь ссылкой на сей манускрипт... всем же интересно ...

(12 Июн 5:17) all_exist

Конечно поделюсь. Если никто не предложит решения через пару дней выложу свое вместе с манускриптом, там все равно оно расписано на 100 страниц и @falcao с испугу подумал что там сложно, хотя в сухом остатке там все получается автопилотом на одной странице.

(12 Июн 15:50) abc

@abc: боюсь, что никто не предложит -- ведь эта задача уже была раньше. То есть можно смело выкладывать уже сейчас. И так будет лучше, чтобы снова не забыли.

(12 Июн 16:22) falcao

Мое решение: http://file.karelia.ru/rrtjwv/

Манускрипт: http://padabum.com/d.php?id=35675

(14 Июн 15:02) abc
1

Ужас, и это называется "элементарно"?

(14 Июн 15:35) caterpillar

Мое решение по-моему очень простое и элементарное. Его я и хотел увидеть от остальных. А в книге там хардкор особенно для ln(1+x)=....

(14 Июн 15:37) abc

Будь я школьником, мне было бы реально проще проследить все перипетии доказательства правила Лопиталя.

(14 Июн 15:39) caterpillar

"Рассчитана книжка на учащихся 9-го и 10-го классов средней школы". Тем кто осилил эту книгу можно открывать собственную школу

(14 Июн 15:46) abc

Не забывайте, что это 9,10 класс по тем временам. Вполне вероятно, что тогда это не считалось чем-то "высоким", ну может, чуть выше среднего))

(14 Июн 15:52) caterpillar

@abc, спасибо, посмотрим...

Кстати, при беглом осмотре Вашего решения не понравились формулировки утверждений 1 и 2... видимо Вы имеете ввиду эквивалентность, а пишите равенство пределов...

@caterpillar, Не забывайте, что это 9,10 класс по тем временам - вот не уверен, что это так...

(14 Июн 16:03) all_exist

Там утверждение lim f(n)=1 и доказательство lim f(n)=lim g(n) = 1 можно написать в разных строках как это обычно принято. Но для экономии места я объединил их в одну строку назвав её утверждением. И там еще помарка вместо $%\forall i\le n$% надо писать $%\forall i\in N$% . Но это все очевидно ...

(14 Июн 16:43) abc
показано 5 из 26 показать еще 21
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×691

задан
10 Июн 18:20

показан
152 раза

обновлен
14 Июн 16:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru