Неравенство Минковского имеет вид: $%((x_1+y_1)^p+(x_2+y_2)^p+...+(x_n+y_n)^p)^\frac{1}{p} \le (x_1^p+x_2^p+...+x_n^p)^\frac{1}{p} + (y_1^p+y_2^p+...+y_n^p)^\frac{1}{p} $% Доказательство через неравенство Гёльдера можно посмотреть в любом учебнике, например здесь.

В одном из обсуждений (не суть важно что там обсуждали) @falcao сказал:

В обычном случае всё доказывается индукцией по n, и там надо или использовать "шаги" от n к 2n и от n к n-1, либо более общее неравенство с коэффициентами.

То есть существуют еще 2 адекватных доказательства неравенства Минковского. 1-ое по индукции и 2-ое , как я понимаю, через неравенство Йенсена (общее с коэффициентами). Беда в том что ни в интернете, ни на форумах, ни в книгах, я их не нашел.

Существуют ли они на самом деле и как они выглядят?

задан 11 Июн 22:03

изменен 11 Июн 22:05

1

@abc: возможно, я ориентировался на какие-то свои воспоминания, и где-то был недостаточно точен. Подозреваю, что неравенство Минковского как-то напрямую из Иенсена не следует, но неравенство Гёльдера вроде бы следует. Здесь имеется обсуждение для случая интегралов. Для конечных сумм должно быть проще.

(12 Июн 1:03) falcao

Я так и подумал. Но оставалась надежда, что школа мехмата обладает какими-то секретными знаниями :) Любопытно что в статье из Кванта http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400ijboldin.pdf тоже "написано" доказательство неравенства Минковского на основе неравенства Йенсена. Но реально там доказывается что-то другое, что науке еще "неизвестно" :) $%((x_1x_2...x_n)^\frac{1}{n}+(y_1y_2...y_n)^\frac{1}{n} \le ((x_1+y_1)(x_2+y_2)...(x_n+y_n))^\frac{1}{n}$% Интересно что будет если заменить корень n-ой степени на корень p-ой

(12 Июн 2:15) abc
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%f(t)= \sqrt[p]{1+t^p}\ , \ p\ge 1$%

Тогда по Йенсену:

$$m_1f(t_1)+m_2f(t_2)\ge (m1+m2)f\left(\dfrac{m_1t_1+m_2t_2}{m_1+m_2}\right)$$

$%m_1= x_1\ , t_1=\dfrac{x_2}{x_1}\ , \ m_2=y_1 \ , \ t_1=\dfrac{y_2}{y_1}$%

получаем Минковского для $%n=2:$%

$$\sqrt[p]{x_1^p+x_2^p}+\sqrt[p]{y_1^p+y_2^p} \ge \sqrt[p]{(x_1+y_1)^p+(x_2+y_2)^p}$$

Полагая $%x_2= \sqrt[p]{a^p+b^p}\ ,\ y_2=\sqrt[p]{c^p+d^p}$%

Получим:

$$\sqrt[p]{x_1^p+a^p+b^p}+\sqrt[p]{y_1^p+c^p+d^p} \ge \sqrt[p]{(x_1+y_1)^p+(\sqrt[p]{a^p+b^p}+\sqrt[p]{c^p+d^p} )^p} \ge$$

$$\ge \sqrt[p]{(x_1+y_1)^p+(a+c)^p+(b+d) ^p}$$

$$. \ . \ . $$

ссылка

отвечен 12 Июн 3:02

изменен 12 Июн 3:27

Здорово. То есть обычная индукция проходит автоматически. Странно что я нигде не видел такого доказательства. Оно более естественное

(12 Июн 17:22) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×424

задан
11 Июн 22:03

показан
114 раз

обновлен
12 Июн 17:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru