Найти промежутки возрастания и убывания функции $%f(x)=x^3-3x^2$% (без производной)

Я решал так:

пусть $%x_{2}>x_{1}$%:

$%f(x_{2})-f(x_{1}) = x_{2}^3 - x_{1}^3 - 3x_{2}^2+3x_{1}^2 = (x_{2}-x_{1})(x_{2}^2+x_{1}x_{2}+x_{1}^2-3x_{1}-3x_{2}) $%

Первый множитель больше нуля, а как найти при каких $%x$% ,второй > 0 или < 0 , непонятно.

задан 12 Июн 22:37

@old: лучше, наверное, взять точки x1=x и x2=x+d. Второй множитель квадратичен по x. Надо будет решить квадратичное неравенство относительно x. Число d при этом можно считать близким к нулю.

(12 Июн 23:14) falcao

@falcao Получилось: $%3x^2+x(3d-6) + d^2-3d$%.

Дискриминант : $%D=-3d^2+36$%

А что значит , d можно считать близким к нулю ? Тогда ,можно считать D=36 ?

(12 Июн 23:25) old

@old: выражение равно 3x(x-2)+d(3x-3+d). Если 0 < x < 2, то при малых значениях d оно отрицательно. Значит, это промежуток убывания. При x > 0 и при x > 2 имеем промежутки возрастания.

Но я не уверен, что именно таким способом решать лучше всего -- просто продолжил Ваши рассуждения.

(13 Июн 0:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Ну, не совсем по определению... но наверное можно так...

Если рассмотреть уравнение $%x^3-3x^2+C=0$%, то многочлен может быть разложен на множители...

Если у многочлена есть корень $%x=x_0$% нечётной кратности, то в окрестности корня функция $%f(x)+C$% меняет знак, то есть в точке $%x=x_0$% функция монотонна ...

Если же корень чётной кратности, то в окрестности корня функция $%f(x)+C$% сохраняет знак... то есть в этом точке $%x=x_0$% функция меняет направление монотонности...

Рассмотрим разложение $%x^3-3x^2+C=(x-a)^2(x-b)$% ... раскрывая скобку и приравнивая коэффициенты при первой и второй степенях икса, получим систему

$$ \begin{cases} -2a-b=-3 \\ a^2+2ab=0 \end{cases}, $$ решая которую, получаем

$$ \begin{cases} a=0 \\ b=-3 \end{cases} \quad\text{или} \quad \begin{cases} a=2 \\ b=-1 \end{cases} $$

Итого, точки $%x=0$% и $%x=2$% границы промежутков монотонности...

ссылка

отвечен 12 Июн 23:20

@all_exist Спасибо.

(12 Июн 23:26) old
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×587
×15

задан
12 Июн 22:37

показан
59 раз

обновлен
13 Июн 0:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru