|
Необходимо найти все идеалы кольца Z28, объясните, пожалуйста алгоритм решения, если можно, то на примере данной задачи. задан 13 Июн '19 21:49 
alexandrovat |
|
@falcao Подскажите, если необходимо также описать соответствующие факторкольца, то они будут выглядеть так: Z28/(1) = {(1)}; Z28/(2) = {(2), (2)+1}; Z28/(4) = {(4), (4)+1, (4)+2, (4)+3}; Z28/(7) = {(7), (7)+1, (7)+2, (7)+3, (7)+4, (7)+5, (7)+6}; Z28/(14) = {(14), (14) + 1, 2, ... 13}; Z28/(28) = {(28), (28) + 1, 2, ... 27}. Правильный ход мыслей? отвечен 25 Янв '21 8:36 
confser @confser: это будут обычные факторгруппы по сложению. Для каждого d|n факторгруппа Z_n по главному идеалу (d) состоит из d классов вида (d)+k, где k пробегает 0,1,...,d-1. Тут всё устроено однотипно. Кольцевой специфики тут фактически и не возникает. То есть это малополезное упражнение.
(25 Янв '21 14:29)
falcao
@confser: если дано кольцо R и его идеал J, то вместе с факторкольцом R/J возникает кольцевой гомоморфизм R->R/J, переводящий элемент r из R в смежный класс r+J. Он называется естественным гомоморфизмом кольца на факторкольцо. Он всегда устроен одинаково, и специфика колец никак не влияет.
(25 Янв '21 15:52)
falcao
|
Все идеалы в таком кольце являются главными, то есть порождаются одним элементом. При этом любая абелева подгруппа в таком кольце уже будет идеалом, так как домножению на элемент кольца соответствует некоторое его кратное. Получается простая задача описания подгрупп циклической группы. Их ровно столько, сколько делителей у числа 28. Это числа 1, 2, 4, 7, 14, 28. Подгруппа (она же -- идеал кольца) порядка d порождается элементом 28/d и состоит из всех его кратных. Например, элемент 7 порождает подгруппу {0,7,14,21} порядка 4, и аналогично для остальных случаев.