матрицы - Матрица оператора поворота в пространстве

Есть готовые формулы для матрицы такого оператора. Направляющий вектор нужно разделить на длину, сделав его единичным, а далее можно воспользоваться формулой отсюда из рубрики "Выражение матрицы поворота через угол поворота и единичный вектор оси вращения".

При желании, можно вывести такую формулу самостоятельно из общих соображений. Прежде всего, для поворота в плоскости формулы выписываются легко. Из этого сразу выписывается матрица поворота $%A$% на заданный угол вокруг любого из базисных единичных векторов -- например, вокруг $%(0,0,1)$%. Далее достаточно указать пример матрицы $%B$%, переводящей этот единичный вектор в заданный направляющий единичный вектор. Тогда итогом будет матрица $%B^{-1}AB$%. Вместо обратной матрицы можно рассмотреть транспонированную, так как они в данном случае равны.

Найти матрицу $%B$% можно из следующих соображений: выписать условие принадлежности вектора ортогональному дополнению направляющего, найти какой-нибудь базис в этом двумерном пространстве, а потом ортогонализовать его в результате процесса Грама - Шмидта (фактически, за один шаг). Поделив каждый вектор на длину, получаем ортонормированный базис, координаты векторов которого позволяют сразу выписать матрицу перехода от него к стандартному базису в $%{\mathbb R}^3$% и наоборот.