Существует ли решение в натуральных числах у уравнения: $$x^3+y^3=z^4$$ При условии $%x≠y≠z$%

задан 15 Июн '19 9:39

2

$$\left(a(a^n+b^n)\right)^n+\left(b(a^n+b^n)\right)^n=\left(a^n+b^n\right)^{n+1}$$.

(15 Июн '19 10:58) EdwardTurJ

@EdwardTurJ А как вы нашли это тождество ?

(15 Июн '19 11:46) potter

@potter: Попробуйте найти тождество для уравнения $$x^2+y^5=z^7.$$

(15 Июн '19 13:12) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Не смог ,это даже сложнее.

(15 Июн '19 14:18) potter

$$\left(a(a^2+b^5)^{10}\right)^2+\left(b(a^2+b^5)^4\right)^5=\left((a^2+b^5)^3\right)^7.$$

(15 Июн '19 14:44) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Я смог кое-что понять: Если $%(x ; y ; z)$% - решение , то $%(2^{35} x ; 2^{14}y ; 2^{10} z)$% - тоже решение. Наименьшую натуральную пару, я найти не смог

(15 Июн '19 17:20) potter

@potter: при a=b=1 получается (2^{10},2^4,2^3). Показатели тут подбираются из тех соображений, чтобы после возведения в степень получились одинаковые слагаемые в левой части. Они должны иметь вид u^5 и u^2. Тогда в сумме будет 2u^{10}. В качестве u годится любая степень двойки u=2^m, при которой у 2u^{10}=2^{10m+1} показатель степени кратен 7.

(15 Июн '19 20:31) falcao

@falcao Но ведь у @EdwardTurJ решения ,не только степени двойки.Как найти остальные?

(15 Июн '19 21:05) potter

@potter: в условии достаточно показать существование одного решения, где нет совпадений чисел. Но догадаться до бесконечной серии легко. Надо искать решения в виде x=ad^k, y=bd^m. Тогда будет понятно, чему равно d, и какие можно брать показатели.

Замечу, что находить все решения такого вида уравнений -- задача явно непосильная, и она никем не ставилась.

(15 Июн '19 21:17) falcao

@falcao, @EdwardTurJ Спасибо!!

(15 Июн '19 21:30) potter

Уравнение $%x^n + y^n = z^{n + 1}$% можно поделить на $%z^n$%: $$z = \frac{x^n}{z^n} + \frac{y^n}{z^n}$$ Пусть $%x^n = az^n$% и $%y^n= bz^n$% : $$z = a^n + b^n$$ $$x = a(a^n + b^n)$$ $$y = b(a^n + b^n)$$ Получаются решения,которые привел @EdwardTurJ

(24 Авг '19 8:40) panda201

Уравнение $%x^2 + y^5 = z^7$% можно свести к предыдущему ,если сделать замену:$%x = k^{10}$% ,$%y = m^4$% , $%z = n^3$%: $$k^{20} + m^{20} = n^{21}$$ Решения которого,например: $$n = a^{20} + b^{20}$$ $$k = a(a^{20} + b^{20})$$ $$m = b(a^{20} + b^{20})$$ Откуда: $$x = (a(a^{20} + b^{20}))^{10}$$ $$y = (b(a^{20} + b^{20}))^4$$ $$z = (a^{20} + b^{20})^3$$

(24 Авг '19 9:22) panda201
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×684
×175
×9
×3
×1

задан
15 Июн '19 9:39

показан
385 раз

обновлен
24 Авг '19 9:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru