$$\lim_{x\rightarrow 1,y\rightarrow 2} \frac{2(x-1)(y-2)}{(x-1)^2+(y-2)^2}$$

задан 26 Май '13 12:16

изменен 27 Май '13 15:47

falcao's gravatar image


166k1230

10|600 символов нужно символов осталось
1

В формуле, судя по всему, не хватает скобок.

После замен $%a=x-1$%, $%b=y-2$% получается предел функции от двух переменных $%2ab/(a^2+b^2)$%, где $%(a,b)\to(0,0)$%. Вдоль линии $%a=b$% значение функции равно $%2a^2/(2a^2)=1$% при $%a\ne0$%, а вдоль линии $%a=-b$% значение этой же функции равно $%-2a^2/(2a^2)=-1$% при $%a\ne0$%. Следовательно, двойной предел не существует.

ссылка

отвечен 26 Май '13 12:50

Спасибо большое.

(26 Май '13 18:23) Олег47

@Олег47: на всякий случай добавлю одно соображение, касающееся оформления. В принципе, такое решение должно считаться достаточным. Но здесь можно обратиться к определению. Пусть $%f(a,b)=2ab/(a^2+b^2)$% при $%(a,b)\ne(0,0)$%. Допустим, что двойной предел существует и равен $%c$%. Тогда для любого $%\varepsilon > 0$% существует такое $%\delta > 0$%, что для всех точек $%(a,b)\ne0$%, находящихся от $%(0,0)$% на расстоянии меньше $%\delta$%, справедливо неравенство $%|f(a,b)-c| < \varepsilon$%. (продолжение следует)

(26 Май '13 19:22) falcao

(продолжение) Ясно, что в такой $%\delta$%-окрестности нуля всегда есть и точки вида $%(a,a)$%, и точки вида $%(a,-a)$%. Поскольку $%f(a,a)=1$%, $%f(a,-a)=-1$% (это основной момент), получается $%|1-c| < \varepsilon$% и $%|-1-c| < \varepsilon$%. Тем самым, число $%c$% находится от каждой из точек $%1$%, $%-1$% числовой прямой на расстоянии менее $%\varepsilon$%. Но это возможно только для $%\varepsilon < 1/2$%, а не для всех положительных, как утверждалось. Следовательно, двойного предела не существует.

(26 Май '13 19:25) falcao

А для чего делается эта замена "После замен a=x−1, b=y−2 получается предел функции от двух переменных 2ab/(a2+b2)"

(27 Май '13 14:55) Олег47

@Олег47: эта замена напрашивается здесь сама собой, так как $%x$% фигурирует везде только в составе $%(x-1)$%, и даже стремится к 1, а не к чему-то другому. Аналогично для $%(y-2)$%. Так просто короче получается: вместо пяти символов приходится писать один. Это примерно то же, как мы говорим короткое слово "вуз" вместо длинной фразы "высшее учебное заведение".

(27 Май '13 15:07) falcao

меня сегодня просто преподаватель спросил,для чего я сделал эту замену,я не ответил

(27 Май '13 15:56) Олег47

Преподаватель, скорее всего, понял, что Вы прибегали к чьей-то помощи :) Что в принципе не возбраняется, но в таких случаях обычно задают вопросы, чтобы проверить. Сам по себе этот приём желательно взять на вооружение. Это примерно как если бы мы решали уравнение наподобие $$(x^2+x-7)^2+3(x^2+x-7)-10=0.$$ Раскрывать скобки здесь плохо, но мы видим, что одно и то же длинное выражение встречается несколько раз. Тогда не думая обозначает его через $%y$%, решаем квадратное уравнение относительно $%y$%, а потом -- два квадратных уравнения уже относительно $%x$%. Задание-то приняли в итоге?

(27 Май '13 16:06) falcao

Да, приняли, но сказала чтобы я ей ответил,для чего я сделал замену.

(27 Май '13 17:00) Олег47
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×93

задан
26 Май '13 12:16

показан
395 раз

обновлен
27 Май '13 17:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru