|
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена биссектриса АК. Площади треугольников АВК и АКС равны S1 и S2. Найдите АС. задан 26 Май '13 15:41 
SenjuHashirama |
|
Из сравнения площадей треугольников $%ABK$% и $%AKC$% следует, что $%S_1:S_2=BK:KC$% (общая высота, проведённая из $%A$%), а также $%S_1:S_2=AB:AC$% (ввиду свойства биссектрисы, или из соображений площади, найденной как произведение сторон на синус угла). Положим $%AB=x$%, $%AC=y$%. Тогда высота, опущенная из $%B$% на основание, равна $%\sqrt{x^2-(y/2)^2}$%. Поэтому площадь треугольника $%ABC$% равна $$\sqrt{x^2-(y/2)^2}\cdot(y/2)=S_1+S_2.$$ Вынося $%y/2$% из-под корня, имеем $%\sqrt{(2x/y)^2-1}\cdot(y/2)^2=S_1+S_2$%, то есть $%\sqrt{(2S_1/S_2)^2-1}\cdot(y/2)^2=S_1+S_2$% ввиду $%x/y=S_1/S_2$%. Отсюда находим $%y=AC$%, получая $$AC=\frac{2\sqrt{S_1+S_2}}{\sqrt[4]{\left(\frac{2S_1}{S_2} \right)^2-1}}.$$ отвечен 26 Май '13 20:10 
falcao |
|
Пусть $%\angle BAK=\angle CAK=\alpha,\angle BCA=\angle BAC=2\alpha,\angle BKA=3\alpha, \angle ABC=180^0-4\alpha.$% Так-как $%AK$% бисектрисса и треугольники $%ABK$% и $%ACK$% имеют равные высоты (c общей вершиной $%A$%), то $%\frac{AB}{AC}=\frac{KB}{KC}=\frac{S_1}{S_2}.$% Из этих же треугольников по теореме синусов имеем $%\frac{AB}{sin3\alpha}=\frac{AK}{sin4\alpha}$% и $%\frac{AC}{sin3\alpha}=\frac{AK}{sin2\alpha}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{sin2\alpha}{sin4\alpha}=\frac{1}{2cos2\alpha}\Rightarrow cos2\alpha=\frac{S_2}{2S_1},sin2\alpha=\sqrt{1-\frac{S_2^2}{4S_1^2}}=\frac{\sqrt{4S_1^2-S_2^2}}{2S_1}.$% Значит задача имеет решение,если $%S_2<2S_1.$% Тогда $%S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC sin2\alpha.$% Учитывая что $%AB=\frac{S_1}{S_2}AC, S_{ABC}=S_1+S_2,$% имеем $%\frac{S_1}{2S_2}AC^2sin2\alpha=S_1+S_2\Rightarrow AC=2\sqrt{\frac{S_1S_2+S_2^2}{\sqrt{4s_1^2-S_2^2}}}.$% отвечен 26 Май '13 20:41 
ASailyan |