интегралы - Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями

Итак, при изменённом условии получается следующее. В плоскости $%Oxy$% рисуем два графика полупарабол. Они пока никакой фигуры не ограничивают. Но у нас есть ещё два условия на $%z$%. Это уравнения плоскостей, которые пересекаются по прямой. Плоскость $%z=0$% -- это и есть наша координатная плоскость $%Oxy$%, и её пересекает другая плоскость, заданная уравнением $%z=1-x$%. Приравнивая $%z$%, мы получаем $%1-x=0$%, то есть $%x=1$%. Это и есть третья линия, ограничивающая справа нашу фигуру на плоскости. Её очень легко нарисовать: здесь $%x$% будет меняться от $%0$% до $%1$% (левее нуля вообще ничего нет, так как $%x\ge0$% стоит под корнем), а при каждом таком фиксированном $%x$% переменная $%y$% меняется от $%\sqrt{x}$% до $%2\sqrt{x}$%. Это задаёт пределы интегрирования.

Далее, какой вид имеет само тело? Если взять фигуру и начать перемещать её вверх и вниз относительно плоскости $%Oxy$% (которую мы мыслим как горизонтальную), то возникает криволинейный цилиндр. Но у нас есть два ограничения на $%z$%. Это значит, что снизу мы обрезаем цилиндр плоскостью $%Oxy$%, заданной уравнением $%z=0$%, а сверху обрезаем его другой плоскостью, имеющей уравнение $%z=1-x$%. Эта плоскость расположена наклонно под углом 45 градусов к плоскости $%Oxy$%, и она задаёт пределы интегрирования по $%z$% -- от $%0$% до $%1-x$%. Это трёхмерное тело если и можно чему-то уподобить, то криволинейной трёхгранной призме.

Нахождение объёма при помощи двойного интеграла теперь выглядит так: по области $%S$% в плоскости $%Oxy$%, ограниченной линиями $%y=\sqrt{x}$%, $%y=2\sqrt{x}$% и $%x=1$% мы интегрируем разность двух функций: "верхней", имеющей вид $%f_2(x,y)=1-x$%, и "нижней", то есть $%f_1(x,y)=0$%. Объём тела равен $$V=\iint\limits_S(1-x)\,dx\,dy=\int\limits_{0}^1(1-x)\,dx\int\limits_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dy=\int\limits_{0}^1(1-x)\sqrt{x}\,dx=\int\limits_{0}^1x^{1/2}dx-\int\limits_{0}^1x^{3/2}dx=\frac4{15}.$$

Для случая тройного интеграла имеем $$V=\iiint\limits_Ddx\,dy\,dz,$$ где $%D$% -- трёхмерное тело. После расстановки пределов интегрирования получаем $$V=\int\limits_0^1dx\int\limits_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dy\int\limits_0^{1-x}dz,$$ что предсказуемо превращается в тот же самый интеграл, что и выше.

Если имелась в виду ещё и площадь проекции, то это двойной интеграл $$\iint\limits_Sdx\,dy=\int\limits_{0}^1dx\int\limits_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dy=\int\limits_{0}^1\sqrt{x}\,dx=\frac23.$$