Конечно или бесконечно число решений уравнения в натуральных числах?: $$2(cd)^2(b-a)(b+a) = (ab)^2(c-d)(c+d)$$ где $%b>a$% и $%c>d$%

И можно ли найти бесконечную серию решений? И как вообще найти решение? Я подставлял небольшие числа,там плохие уравнения получаются. Я попробовал заменить числа степенями двойки,теперь не могу понять есть ли решение у уравнения:

$$2^{4m+2k+1} - 2^{4m+1} - 2^{4k+2m} + 2^{4k} = 0$$

задан 17 Июн '19 21:25

изменен 17 Июн '19 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Запишем уравнение в виде $%2\frac{(cd)^2}{c^2-d^2}=\frac{(ab)^2}{b^2-a^2}$%. Нас интересуют случаи, когда в множестве чисел вида $%\frac{(ab)^2}{b^2-a^2}$%, где $%b > a$%, одно число вдвое больше другого.

Положим $%a=kx$%, $%b=ky$%. Тогда $%\frac{(ab)^2}{b^2-a^2}=\frac{k^2(xy)^2}{y^2-x^2}$%.

Известно, что в виде разности квадратов можно представить любое нечётное число, а также любое число, кратное 4. Например, $%4m=2\cdot2m=(y-x)(y+x)=y^2-x^2$% при $%y=m+1$%, $%x=m-1$%. Этим способом получаются числа вида $%\frac{k^2(m^2-1)^2}{4m}$%, где $%k$% любое. Заменяя $%m$% на $%2m$% и $%k$% на $%l$%, мы получаем числа вида $%\frac{l^2(4m^2-1)^2}{8m}$%. Понятно, что выбирая $%k=4m^2-1$% и $%l=m^2-1$%, первое из наших чисел оказывается вдвое больше другого, что даёт бесконечную серию решений $%b=(4m^2-1)(m+1)$%, $%a=(4m^2-1)(m-1)$%, $%c=(m^2-1)(2m+1)$%, $%d=(m^2-1)(2m-1)$% при $%m\ge2$%.

Также надо заметить, что уравнение является однородным, откуда уже следует, что из одного решения можно получить бесконечно много посредством домножения на натуральный множитель. Конкретный пример решения (не из серии): $%a=5$%, $%b=10$%, $%c=20$%, $%d=4$%. По идее, решений здесь очень много.

ссылка

отвечен 17 Июн '19 23:08

изменен 17 Июн '19 23:45

@falcao Большое спасибо!

(17 Июн '19 23:21) panda201

@panda201: я говорил о том, что дробь с k^2 в числителе оказывается вдвое больше дроби с l^2 в числителе. Это действительно так -- можете подставить и проверить. Хотя это следует из хода рассуждений.

(17 Июн '19 23:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×174
×100

задан
17 Июн '19 21:25

показан
311 раз

обновлен
17 Июн '19 23:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru