$$ \left\{\begin{matrix} 3x - y = 4x^3 & \\ 3y - x = 4y^3 & \end{matrix}\right. $$ Как доказать ,что $%|x| \leq 1$% и $%|y| \leq 1$% ?

задан 19 Июн 21:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%y=x$%, то $%x=2x^3$%, что даёт три решения: $%x=0$%, $%x=\pm\frac1{\sqrt2}$%. Эти числа по модулю не больше единицы.

Если $%y=-x$%, то оба уравнения равносильны $%x=x^2$%, и получается $%x\in\{0,\pm1\}$%, где всё выполняется.

Теперь пусть $%y\ne\pm x$%. Складывая уравнения и сокращая на $%2(x+y)\ne0$%, имеем $%\frac12=x^2-xy+y^2$%. Вычитая из первого второе и сокращая на $%4(x-y)\ne0$%, получаем $%1=x^2+xy+y^2$%. Из этих двух уравнений $%x^2+y^2=\frac34$% и $%xy=\frac14$%. Следовательно, $%(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy=\frac54$% и $%(x-y)^2=(x^2+y^2)-2xy=\frac14$%. Числа $%x$%, $%y$% одного знака, и их можно считать положительными (модули не меняются). Также в силу симметрии можно положить $%x\ge y$%. Тем самым, $%x+y=\frac{\sqrt5}2$%, $%x-y=\frac12$%, то есть числа равны $%\frac{\sqrt5\pm1}2$%, что также не больше 1 по модулю.

Система, по идее, в явном виде решается полностью. Более слабое утверждение о том, что $%|x|,|y|\le1$%, можно доказать и покороче. Если допустить, что $%|x| > 1$%, то $%|y|=|x(3-4x^2)|=|x|(4x^2-3) > |x| > 1$%, откуда по симметрии получается $%|x|=|y|(4y^2-3) > |y|$% -- противоречие.

ссылка

отвечен 19 Июн 22:19

@falcao Спасибо! Просто, нужно было решить с помощью тригонометрической замены, а я не мог доказать ,что |x|,|y| <=1.

(19 Июн 22:40) old

@old: да, здесь тригонометрическая замена напрашивается. Тогда полностью решать лучше именно этим способом, а проверка условий для модулей быстро осуществляется от противного.

(19 Июн 23:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно было схематично нарисовать график функции $%y=3x-4x^3$% и заметить следующее:
1) на отрезке $%-1\le x \le 1$% график не выходит за границы квадрата $%\{-1\le x \le 1,\;-1\le y \le 1\}$%... он совершает колебания, проходя через точки $%(-1;1)\to(-0.5;-1)\to(0;0)\to(0.5;1)\to(1;-1)$%...
2) вне отрезке $%-1\le x \le 1$% график уходит на бесконечность, оставаясь во 2-й четверти выше, а в 4-й четверти ниже биссектрисы этих четвертей..

Затем замечаем, что кривая, заданная уравнением $%x=3y-4y^3$%, получается аналогично построенному выше графику...

Таким образом, линии, описанные уравнениями системы могут пересекаться только внутри квадрата $%\{-1\le x \le 1,\;-1\le y \le 1\}$% ...

ссылка

отвечен 20 Июн 2:14

изменен 20 Июн 4:19

@all_exist Спасибо!

(20 Июн 9:08) old
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×296

задан
19 Июн 21:34

показан
113 раз

обновлен
20 Июн 9:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru