Найдите $%a$%, при котором наибольшее значение функции $%f(x)=|2x^2-x-a|$% на отрезке $%[0; 1]$% является наименьшим.

задан 20 Июн '19 2:00

Вот пример удачной задачи с параметром, где есть над чем подумать, но не надо выписывать 10 подслучаев с логарифмами синусов или степенями арксинусов :)

(20 Июн '19 2:24) falcao

картинка должна помочь...

(20 Июн '19 2:25) all_exist

@falcao, это потому что нужно решить не при всех $%a$%:D

(20 Июн '19 2:28) kvark

@kvark: нет, не по этой причине. Есть немало хороших задач с параметром, которые надо решить для любого a. Но выписывать в 10 случаях +2пk -- уже дело неприятное. Могли бы взять отрезок длиной в период, чтобы было проще писать ответ. А создавать искусственные трудности при помощи нагромождений -- в этом большой "доблести" я не вижу. Это я до сих пор не могу забыть впечатление от арксинусов 10 в степени a-sqrt(2a^2-2) :)

(20 Июн '19 2:34) falcao

@falcao, да, задача очень противная была

(20 Июн '19 2:36) kvark
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вершина параболы $%y=2x^2-x-a$% имеет абсциссу $%x_0=\frac14$%, которая принадлежит отрезку $%[0,1]$%. Наибольшее значение функция $%f(x)$% принимает или на концах отрезка, или в точке $%x_0$%. Поэтому $%\max\limits_{x\in[0,1]}f(x)=\max(f(0),f(1),f(\frac14))=\max(|a|,|a-1|,|a+\frac18|)$%.

Построив графики трёх функций от переменной $%a$%, мы легко можем построить график их максимума. Он состоит из двух лучей, один из которых является частью прямой $%1-a$%, а другой -- частью прямой $%a+\frac18$%. Они пересекаются в точке $%a=\frac7{16}$%, и это даёт искомое наименьшее значение максимума, равное $%\frac9{16}$%.

ссылка

отвечен 20 Июн '19 2:23

Спасибо большое!

(20 Июн '19 2:28) kvark

@falcao, я понял до момента построения графиков максимумов, а что дальше произошло?

(20 Июн '19 2:40) kvark

@kvark: после построения графиков функций |a|, |a-1|, |a+1/8| надо на каждом участке отметить самый верхний. Это соответствует взятию максимума. Окажется, что он состоит из двух лучей. Их общая вершина находится из уравнения 1-a=a+1/8, откуда 2a=7/8, a=1/16. При этом 1-a=a+1/8=9/16. Это точка минимума функции max. Её и надо было найти.

(20 Июн '19 7:54) falcao

@falcao, не до конца осознал, почему нужно взять верхние части, а остальное все понял!

(20 Июн '19 15:08) kvark

@kvark, Вы проводите вертикальную прямую и получаете три точки пересечения с указанными графиками... это три значения в точках возможного наибольшего значения при этом значении параметра... разумеется, что из них надо выбрать максимум, чтобы это наибольшее значение получить...

(20 Июн '19 16:16) all_exist

ааа, точно! я забыл, что ось параметра это горизонтальная ось! спасибо!

(20 Июн '19 16:23) kvark
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,016

задан
20 Июн '19 2:00

показан
426 раз

обновлен
20 Июн '19 16:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru