Рассмотрим систему полиномиальных уравнений, например $$2x^2+y^2-3z^2=1\\x^3+x=y^2$$

Если $%A$% - кольцо, то пусть $%F(A)=\{(x,y,z)\in A^3:2x^2+y^2-3z^2=1,x^3+x=y^2\}$%. Пусть $%f:A\to B$% - гомоморфизм колец. Почему $%(f(x),f(y),f(z))\in F(B)$%?

Конкретно для этого случая, наверно, доказывается так:

$%x^3+x-y^2=0\implies f(x^3+x-y^2)=f(0)=0\implies f(x^3)+f(x)-f(y^2)=0\implies f(x)^3+f(x)=f(y)^2$%, и аналогично для первого уравнения.

А если уравнения заменить на абстрактные $%P(x,y,z)=0$% и $%Q(x,y,z)=0$%, то как организовать доказательство? (Я ограничился случаем 2 уравнений и 3 переменных для простоты)

задан 20 Июн '19 2:54

изменен 20 Июн '19 2:55

Гомоморфизм сумму переводит в сумму, а произведение в произведение. Поэтому одночлен переходит в одночлен, а многочлен в многочлен. То есть индукцией по "сложности" построения многочлена P доказывается, что f(P(x,y,...))=P(f(x),f(y),...). Отсюда следует, что множество нулей переходит в множество нулей ввиду f(0)=0.

(20 Июн '19 8:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,016

задан
20 Июн '19 2:54

показан
158 раз

обновлен
20 Июн '19 8:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru