1
1

Найдите $%a$% и $%b$%, при которых наибольшее значение функции $%f(x)=|x^2+ax+b|$% на отрезке $%[-1; 1]$% является наименьшим.

задан 20 Июн 18:35

1

@kvark, если привести функцию к виду $%f(x)=|-x^2+1-ax-b-1|$% и рассмотреть "горбик" $%g(x)=-x^2+1$%, то $%g(-1)=g(1)=0$%, $%g_{\max}=g(0)=1$%, и $%|g(x)-k(x)|$%, где $%k(x)$% -- линейная функция, имеет наименьший максимум при $%k(x)=\frac{g_{\max}}{2}=\frac{1}{2}$%. Чтобы это увидеть, достаточно порисовать картинки. Из этого следует, что надо взять $%a=0$%, $%b=-\frac{1}{2}$%.

(20 Июн 19:04) caterpillar

Это какой-то искусственный прием? никогда такое не встречал..

(20 Июн 19:09) kvark

@kvark, если привести к "горбику" считается искусственным приёмом, то -- да)

(20 Июн 19:10) caterpillar

Просто для меня естественным путем решения казалось решить систему из условий $%f(-1)\le M$%, $%f(0)\le M$%, $%f(1)\le M$%, где $%M$% - искомое наибольшее значение.

(20 Июн 19:21) kvark
1

@kvark: так тоже можно, если Вы не хотите взять на себя риск предварительного угадывания того факта, что M=1/2. С последующим доказательством, конечно. Здесь Ваш способ даёт |b|<=M, |b+1+a|<=M, |b+1-a|<=M. Два последних неравенства как следствие дают |b+1|<=M. Остаётся понять, при каких M условия для b и b+1 совместны. Отрезки [-M,M] и [-M-1,M-1] должны пересекаться, откуда не должно быть M-1 < -M, то есть M < 1/2. Значит, M>=1/2, а равенство легко достигается.

(20 Июн 19:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь проще всего сначала угадать оптимальное значение, а потом доказать, что оно в самом деле такое.

Полагая $%a=0$%, получим симметричную относительно оси ординат параболу $%y=x^2+b$%. Наибольшее значение достигается или на концах, или в вершине, то есть это максимум чисел $%|b|$%, $%|b+1|$%. Понятно, что хотя бы одно из них не меньше $%\frac12$%, так как из условий $%|b| < \frac12$% и $%|b+1| < \frac12$% следует, что $%b$% принадлежит пересечению $%(-\frac12;\frac12)\cap(-\frac32;-\frac12)$%, но оно пусто. Таким образом, $%\max(|b|,|b+1|)\ge\frac12$%, а равенство имеет место при $%b=-\frac12$%.

Итак, значение $%\frac12$% в качестве максимума модуля квадратичной функции мы умеем достигать для случая $%x^2-\frac12$%. Покажем, что оно не может быть меньше.

Если это так, то $%f(-1)$%, $%f(0)$%, $%f(1)$% строго меньше $%\frac12$%, откуда $%|b+1-a| < \frac12$%, $%|b| < \frac12$%, $%|b+1+a| < \frac12$%. Ввиду неравенства треугольника, $%2|b+1|=|(b+1-a)+(b+1+a)|\le|b+1-a|+|b+1+a| < \frac12+\frac12=1$%, то есть $%|b+1| < \frac12$%. Но выше было доказано, что вместе с $%|b| < \frac12$% это даёт противоречие.

Здесь решение основано на правильной догадке, которая далее строго обосновывается. На самом деле, догадаться до симметричного расположения параболы не так уж и трудно, что позволяет рассчитать значение параметра $%b$%, равное $%-\frac12$%. Зато тут нет сложных вычислений.

ссылка

отвечен 20 Июн 19:16

Как вы любите "без извращений")) Спасибо, @falcao и @caterpillar !

(20 Июн 19:23) kvark
10|600 символов нужно символов осталось
1

Очевидно, что $%f(-1)=f(1)=f(0)$%.

Откуда $%b=- \frac{1}{2}. $%

ссылка

отвечен 7 Авг 17:35

@FEBUS: а почему это очевидно?

(7 Авг 18:59) falcao

@falcao На отрезках длины 2 $%g(x)=max(x^2)-min(x^2) \geq1 $%, равно 1 на $% [-1; 1] $%

(7 Авг 21:45) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,257

задан
20 Июн 18:35

показан
147 раз

обновлен
7 Авг 22:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru